基于特征多项式的负群时延滤波器设计方法

陈道名，游 彬

(杭州电子科技大学电子信息学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

随着微波毫米波通信技术的迅速发展，通信系统的群时延因长群时延导致信号失真而备受关注。当信号通过通信系统中的各个器件时，往往产生正群时延，过长的正群时延导致信号失真，使系统无法正常工作。负群时延(Negative Group Delay，NGD)电路是补偿系统正群时延和减小通带群时延变化的有效方法，滤波器作为通信系统中的关键器件，其负群时延化逐渐成为研究热点。电路结构能够用于负群时延滤波器的物理实现，如微带线加载电阻结构[1]、传输线和耦合器结构[2]、缺陷微带结构[3]等，但是，缺乏较为完备的设计理论，难以满足系统化、灵活化的设计需求。因此，人们开始关注负群时延滤波器设计的理论研究，如利用耦合矩阵法设计可调谐负群时延滤波器[4]、基于有损耦合矩阵法设计负群时延滤波器[5-6]等。但是，仍存在一些限制与不足，如特征多项式不易合成、耦合矩阵结构固定、滤波器阶数受限等。

为了更系统地设计满足不同要求的负群时延滤波器，本文提出一种基于特征多项式的负群时延滤波器设计方法，较现有方法更加系统化，能灵活设计具有不同响应的负群时延滤波器。

1 负群时延耦合矩阵综合

首先，从群时延的定义出发，通过分析理想无损条件下各特征多项式对总体群时延的影响，得出损耗是实现负群时延的必要条件，进而得到特征多项式的负群时延实现条件。然后，给定在低通域所要求的负群时延响应，根据负群时延的实现条件，选择合适的群时延分量，利用递归公式合成各群时延分量所对应的特征多项式。最后，根据导纳参数的最小网络条件对特征多项式进行完善并综合得出具有最小阶数的负群时延耦合矩阵。

1.1 负群时延的实现条件

群时延定义为相位对角频率的负倒数[2]，即

(1)

式中，ω为低通域角频率，∠S21(jω)为相位函数，j表示虚部单位。

对于无源互易网络，散射参数通常用归一化特征多项式表示[7]：

(2)

式中，s=jω为复频率，E(s)为Hurwitz多项式，其根均分布在s平面的左侧。对于无损情况，多项式P(s)具有与ω无关的恒定相位[5]，故S21(s)中仅有多项式E(s)对群时延有影响，设E(s)为：

(3)

式中，an+jbn为E(s)的根，n=1,2,…,N，则式(1)表示为：

(4)

由于E(s)是Hurwitz多项式，an<0，所以式(4)始终大于0，即无损条件下将始终产生正群时延。因此，损耗是实现负群时延的必要条件。

由于实现负群时延需要损耗，因此式(4)不再适用，即多项式P(s)的相位需要提供非零群时延以实现负群时延响应，设

(5)

式中，cm+jdm为P(s)的根，m=1,2,…,M。S21(s)可构造为：

(6)

式中，常数A用于控制S21(s)的幅度，在选择A时需要考虑能量守恒定律。参考式(4)，式(1)重新表示为：

(7)

式中，已知E(s)的群时延分量始终为正，若要实现总体群时延为负，则需要P(s)提供的群时延大于E(s)所提供的群时延。为了保证在低通域ω∈[-1,1]内实现完整的负群时延，实现条件是令cm<0，即P(s)和E(s)均为Hurwitz多项式，且在ω∈[-1,1]内任意点上P(s)的群时延分量始终大于E(s)的群时延分量。

1.2 特征多项式合成

根据负群时延的实现条件对特征多项式进行合成。首先，给定在ω∈[0,1]范围内所要求的负群时延响应τS21(ω)，当E(s)为实系数Hurwitz多项式时，响应将关于纵轴对称。根据式(7)，设

τS21(ω)=τe(ω)-τp(ω)

(8)

式中，τe(ω)和τp(ω)分别为E(s)和P(s)的群时延分量。然后，选择合适的τp(ω)和τe(ω)以满足在频率范围内任意点上τp(ω)>τe(ω)，求得对应的相位函数φp(ω)和φe(ω)。

(9)

式中，φ0为初始相位。再根据文献[8]和文献[9]中提出的递归算法，求得φp(ω)和φe(ω)所对应的Hurwitz多项式P(s)和E(s)。由于该算法要求初始相位为0，故令式(9)中φ0=0。

以合成多项式E(s)为例，首先将ω∈[0,1]范围内的点进行离散化，得到[ω0,ω1,ω2,…,ωN]，其中ω0=0，ωN=1，N为多项式的阶数。然后计算得到各个离散频点对应的相位[φE0,φE1,φE2,…,φEN]，其中φE0=0。接着得到N阶Hurwitz多项式EN(s)：

(10)

式中，

(11)

当i>0时，有

(12)

M阶多项式PM(s)也用相同的方法求得，先由式(11)和式(12)计算系数αi(i=0,1,2,…,M-1)，再利用式(10)合成相应的Hurwitz多项式，对于无源网络需满足M≤N。值得注意的是，多项式所产生的NGD响应与给定的NGD响应之间的误差受多项式阶数影响，多项式阶数越高误差越小。

1.3 最小网络条件及耦合矩阵综合

在耦合矩阵的合成中，需要将散射参数转换为导纳参数，最终网络的阶数将等于导纳参数分母的阶数，转换关系表示为：

(13)

将式(2)代入式(13)，可得：

(14)

可以发现，若F11F22-P2不能被E整除，则分子分母同时乘以E后，分母的阶数是E的2倍。当F11F22-P2能被E整除时，导纳参数分母的阶数则等于E的阶数，此时阶数最小，达到最小网络。设

F11F22=KE+P2

(15)

式中，K为F11F22-P2被E整除后的多项式。当式(15)中的K确定后，可以求得多项式F11F22的根，其中包含F11和F22的根，两者的根存在多种选择，不同的选择将得到不同的耦合矩阵。在分配两者的根时应尽量使两者的值都最小化。另外，多项式K的确定同样受到能量守恒定律的约束，需要确保合成的特征多项式满足无源条件，可借助仿真软件中的各种优化算法得到合适的K，如MATLAB中的Pareto优化。

负群时延耦合矩阵合成过程如下：首先给定ω∈[0,1]范围内规定的负群时延响应函数τS21(ω)，根据负群时延的实现条件选择合适的群时延分量τp(ω)和τe(ω)。然后利用递归公式确定特征多项式P(s)和E(s)，并选择合适的幅度控制常数A对S21(s)幅度进行缩放。一旦获得以上参数，则可根据最小网络条件通过优化算法合成多项式K(s)，进而计算得到F11F22的根，选择幅度平衡的F11和F22的根来生成多项式F11(s)和F22(s)。接着通过式(14)生成导纳参数[Y]，与[Y]所对应的初始有损耦合矩阵可以通过文献[10]中的综合方法合成。最后，将初始矩阵变换为更适合物理实现的耦合矩阵，如折叠型耦合矩阵。

2 数值仿真与实验验证

为了更好地说明本文设计方法的可行性，通过2个数值仿真和1个实验来验证。首先给出2个不同NGD响应的数值仿真来体现设计方法的灵活性，然后对其中1个数值仿真进行实验测试，进一步验证本文设计方法的可行性。

2.1 数值仿真

首先，对ω∈[0,1]内满足τS21(ω)=0.5ω-0.5的线性正斜率NGD进行仿真。选定群时延分量τe(ω)=0.5，τp(ω)=1-0.5ω，常数A=8，表1给出合成的特征多项式。根据多项式综合出的折叠型耦合矩阵如图1所示，对应的S参数和NGD响应曲线如图2所示。

表1 正斜率响应特征多项式

图1 正斜率响应耦合矩阵

图2 正斜率响应S参数和NGD曲线

然后，对ω∈[0,1]内满足τS21(ω)=-1的平坦NGD进行仿真。选择τe(ω)=1，τp(ω)=2，常数A=2。各特征多项式如表2所示，折叠型耦合矩阵如图3所示，图4给出了对应的S参数和NGD响应曲线。

表2 平坦响应特征多项式

图4 平坦响应S参数和NGD曲线

从图2(a)和图4(a)中可以看出：由耦合矩阵得到的S参数响应曲线与特征多项式得到的响应完全一致。图2(b)中综合得到的NGD响应在斜率上与τS21(ω)=0.5ω-0.5的响应基本一致，在低谷处出现的误差是在NGD函数到特征多项式的合成过程中产生的，同类误差在图4(b)中表现为工作频段内起伏微小的波纹。图4(b)中综合得到的NGD响应在工作频带[-1，1]内与τS21(ω)=-1的响应基本一致。

2.2 实验验证

为了进一步验证本文设计方法的可行性，将2.1节中正斜率负群时延的数值仿真进行实验验证。选择以3.56 GHz为中心频率的20 MHz频段，对图1中的耦合矩阵进行反归一化，得到带通域耦合矩阵和拓扑结构如图5所示，反归一化NGD响应函数TS21(f)=2f-7.14，f为带通域频率。采用微带加载电阻结构进行实现[11]，滤波器整体结构如图6所示，加工采用的基板材料为Rogers4350B，其相对介电常数为3.66，介质损耗为0.004，板材厚度0.762 mm，金属铜厚0.035 mm，有损交叉耦合所用电阻R选用0603封装，阻值为100 Ω，滤波器尺寸如下(单位：mm)：w=1.6，wr=0.5，l=24，ls=22.8，ll=20.7，lz1=7.6，lz2=7.8，ls1=11.4，l12=8.6，l23=1.0，l13=3.8，l31=3.9，lr1=10.2，lr2=5.6，lr3=15.4，gs1=0.2，g12=1.4，g23=2.1，g13=0.2，g31=0.5。

图5 带通域耦合矩阵和拓扑结构

图6 滤波器整体结构图

损耗是实现负群时延的必要条件，NGD滤波器利用有损交叉耦合来引入损耗，通过牺牲S21来产生负群时延。滤波器的仿真和测试结果如图7所示，可以看出：S参数的测试结果与仿真结果基本一致；对于得到的NGD响应，在工作频段内也与要求的NGD响应相吻合，验证了本文设计方法的可行性。

图7 滤波器S参数和NGD的仿真与测试结果

将本文设计的NGD滤波器与相关研究成果进行对比，结果如表3所示。可以看出：本文设计的负群时延滤波器NGD最大值为-6.58 ns，大于其他滤波器，同时最大回波损耗为33.04 dB，相较其他滤波器也有所改善。

表3 负群时延滤波器性能指标对比

3 结束语

本文提出一种基于特征多项式的负群时延滤波器设计方法。通过理论分析得到特征多项式的负群时延实现条件，利用递归公式和约束条件实现了多项式的合成，并综合得出对应的耦合矩阵，仿真和测试结果验证了设计方法的可行性。本文提出的设计方法具有系统的设计流程，能根据不同的NGD响应和阶数要求来设计负群时延滤波器。但是，随着多项式阶数的增加，耦合矩阵及对应的拓扑结构会更加复杂，从而增加物理实现的难度。