隶属度函数相关的T-S模糊时滞系统稳定性准则

郭娜娜，姜偕富，尹宗明，唐 亮

(杭州电子科技大学自动化学院，浙江 杭州 310018)

0 引 言

T-S模型是非线性系统的近似描述[1]。T-S模型基于局部线性的方法利用模糊If-Then规则逼近非线性系统，以便利用较为完备的线性系统理论来解决非线性系统的问题[2]。时滞现象往往存在于大多数动态系统，是导致系统性能变差甚至不稳定的重要因素之一。因此，学者们针对T-S模糊时滞系统进行了大量研究，并取得了许多有价值的成果[3-12]。例如，文献[3]在Lyapunov-Krasovskii(L-K)泛函中引入三重积分项，利用更多的时滞信息，得到一个保守性较小的稳定性准则；文献[4]采用改进的凸组合方法来处理L-K泛函求导过程中产生的积分项，相比使用Jensen不等式，降低了所得稳定性准则的保守性。上述方法虽然获得了较好的结果，但是构造的L-K泛函均与系统的隶属度函数无关，在一定程度上可能存在保守性。文献[8-11]在研究T-S模糊时滞系统时，引入了一种隶属度函数相关的L-K泛函，得到了保守性较小的结果。例如，文献[8]在处理隶属度函数导数相关项的过程中，让隶属度函数导数的绝对值小于等于上界值，得到一个保守性较小的稳定性准则，但上界值需要提前给定；文献[9]采用切换思想，避免了提前得到隶属度函数导数的上界值这一苛刻条件，获得了较好的结果；文献[10]结合线积分Lyapunov函数和隶属度函数相关的L-K泛函，得到一个具有较小保守性的稳定性准则；文献[11]在构造的隶属度函数相关的L-K泛函中加入增广矩阵，得到一个保守性较小的稳定性准则。然而，上述方法都是针对T-S模糊常时滞系统的研究，利用这种方法来研究T-S模糊时变时滞系统稳定性的相关报道却很少。本文将文献[9-11]使用的方法推广到T-S模糊时变时滞系统稳定性的研究中，并充分利用时滞信息构造一个新的隶属度函数相关的增广型L-K泛函，给出保守性较小的稳定性准则。

1 系统描述

对于一类非线性时滞系统，该系统可被If-Then规则描述为如下形式

(1)

通过单点模糊化、乘积推理和加权平均去模糊化的方法，全局动态系统(1)可描述为

(2)

2 稳定性准则

本文主要是对T-S模糊时滞系统(2)的稳定性进行分析，得出一个保守性较小的稳定性准则。

(3)

(4)

(5)

证明构造隶属度函数相关的L-K泛函如下

V(t)=V1(t)+V2(t)+V3(t)+V4(t)

(6)

V(t)沿系统(2)轨迹对时间t求导，可得：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

使用文献[5]中的引理3处理Δ得：

Δ≤-ηT(t)ΦTΘiΦη(t)

(13)

对式(10)中的积分项用文献[4]中的引理2进行处理，得

(14)

结合式(7)—(14)可得

(15)

得：

(16)

(17)

为了验证本文方法的有效性，进一步考虑(6)中的L-K泛函与隶属度函数矩阵无关的情况，即Pλ=P，Quλ=Qu(u=1，2，3，4)，S1λ=S1，S2λ=S2，Rλ=R。可得推论1。

(18)

(19)

其证明与定理1的证明类似，在这里不再重复证明。

注对模糊规则数为r的T-S模糊时滞系统(2)，使式(4)成立的约束条件为Cl(l=1，2，…，2r-1)。在使用MATLAB中的LMI工具箱进行验算时，首先分别对每个约束条件Cl求得各自的最大允许时滞上界h2l，然后取min{h2l}(l=1，2，…，2r-1)作为系统最终的最大允许时滞上界，这样便可保证系统(2)是渐近稳定的。

3 数 例

为了说明本文方法具有更小的保守性，通过相应的数值示例来验证。

例使用如下的T-S模糊时滞系统[7]

取μ=0.1，h1=1，使用MATLAB中的LMI工具箱并在C1：{P1≥P2，Qu1≥Qu2，S11≥S12，S21≥S22，R1≥R2}和C2：{P1

表1 不同方法的最大允许时滞上界值

从表1可以看出，本文方法取得的最大时滞上界比其他方法大，说明本文所用方法最终得出的稳定性准则具有较小的保守性，验证了本文方法的有效性。

4 结束语

本文研究一类T-S模糊时滞系统的稳定性问题。通过分析现有文献中存在的不足，构造了一个隶属度函数相关的L-K泛函，并充分利用时滞信息，在构造的L-K泛函中引入增广矩阵，获得了一个保守性较小的稳定性准则。但是，在实际控制系统中，往往存在一些不确定性因素，因此，下一步将对具有参数不确定性系统的鲁棒稳定性问题展开研究。