经济函数应用历史对中国经济学发展的启示

杨杰

摘  要：改革开放带来的经济增长奇迹促使中国经济学家必须承担起创立新经济学理论的历史重任，而现代经济学理论离不开使用各种数学函数。文章选择了柯布—道格拉斯和里昂惕夫两种实证应用最为广泛的经济函数，从它们的历史背景和应用情况等进行分析和研究，以期加深人们对经济理论发展过程的认识，并从认清时代责任、改革数据管理、强化数学基础研究、提倡系统化思维以及重视历史逻辑等方面，为现阶段发展具有中国特色的经济学理论提供一些经验和建议。

关键词：经济函数;C—D函数;里昂惕夫函数

中图分类号：F303     文献标识码：A

Abstract：Following the Reform and Opening-up strategy， the miracle of economic growth urges Chinese economists to undertake the historical task of creating new economic theories. Modern economic theories often use various mathematical functions to describe economic activities. This paper chooses Cobb-Douglas and Leontief functions to analyze their historical background and application，and provide some experience and suggestions for the development of new Chinese economic theories from recognizing the responsibility，reforming data management， strengthening the Mathematics， advocating systematic thinking and attaching importance to history，etc.

Key words： Economic Function;Cobb-Douglas Function;Leontief Function

用抽象的数学函数来表达和分析一些经济规律，已成为现代经济学的重要特征。马克思说过：“分析经济形式，既不能用显微镜，也不能用化学试剂，两者都必须用抽象力来代替。”[11]不同于物理学等自然科学，经济学不能采用重复实验的方法，需要借助一些数学函数、逻辑推演和抽象模型来分析具体问题。这些经济模型不仅可以对经济活动进行精准的归纳和刻画，还可以通过进一步的数学演绎发现先于社会经验的新理论，从而加深人们对客观经济规律的认识。在众多的实证研究模型中，柯布—道格拉斯函数（简称C—D函数）和里昂惕夫函数（也叫投入产出函数）应用最為广泛。笔者从历史背景和应用情况等角度对这两种常用的函数进行分析，希望能为发展具有中国特色的经济学理论提供一些借鉴。

一、综述

普遍认为，古典经济学家从17世纪中叶就开始尝试用数学分析经济问题。英国在1640年资产阶级革命后，资本主义经济开始快速发展，社会在生产模式和生产关系上的大变革带来了很多新问题。英国古典政治经济学家配第在1672年出版的《政治算术》中，率先将统计学应用到经济分析中，并对欧洲主要发达国家进行了经济实力的数量对比，是经济学利用数学进行分析的萌芽。随着欧洲大陆启蒙运动的兴起和资本主义的发展，法国的重农主义经济学家魁奈（当过医生）在1758年最早利用表格和图式的形式构建了经济学均衡理论的雏形，把整个经济社会作为一个系统进行思考，可惜魁奈所使用的数据并非来自真实统计，仅借用虚拟数字说明了一些供需均衡关系。1776年，英国亚当·斯密在《国富论》中提到“看不见的手”[15]，由于斯密不擅长用数学说明他的思想，后世经济学家虽将它等价于市场自我调节背后的一般均衡理论，却用了一个多世纪去证明和探索。

真正把先进数学工具用于经济分析是19世纪中叶的事情。经济学家德布罗在诺贝尔获奖演说中说：“如果要对数理经济学的诞生选择一个象征性的日子，我们这一行会以罕见的一致意见选定1838年，古诺是作为第一个阐明经济现象的数学模型的缔造者而著称于世的。”[14]古诺认为斯密提到过的供需、价格和市场等经济关系都可以用数学函数的形式来表现和解释。古诺在《财富理论的数学原理研究》中，第一次真正意义上使用数学语言和具体函数来分析了经济现象。古诺的思想很快得到了法国经济学家瓦尔拉斯的认同和发展，瓦尔拉斯提出了真正意义上的一般均衡理论构想，成功将供需关系纳入抽象市场中进行系统分析。一般经济均衡理论是对现实世界的高度简化，实际上是利用数学公式建立了经济学的基本骨架。在此后的很长一段时间，经济学上最大的问题就是一般均衡的存在性证明[4]。直到20世纪50年代，才由美国经济学家阿罗与德布罗利用最新数学成果分别成功重建了一般均衡理论大厦[17]。其中，德布罗的《价值理论》是诺贝尔经济学奖历史上最简短的获奖学术著作，它精练地利用集合论、凸性分析技术和不动点理论等完美地解决了一般均衡存在性问题;还解释了为什么建立在代数和方程理论基础上的瓦尔拉斯一般均衡理论是不完备的[4]。很多经济学家得以在此基础上进行更具体的实证研究。

一般均衡存在的结果在后来的实证研究中变得相当有用，由世界银行团队在此基础上完成了可计算一般均衡（CGE）模型。在CGE模型内，任何一个细小的变化都会产生牵一发而动全身的结果。为了量化这些变化，CGE模型将理论证明中的每个环节都选择了对应法则（数学结构或函数形式），再由电脑通过数值计算给出最优解。不同的经济函数形式可以根据具体情况用在CGE模型的不同地方。其中较为著名的有柯布—道格拉斯函数（C—D）、来昂惕夫函数（Leontief）、常替代弹性函数（CES）等[2]。尽管函数有各种各样的形式，但本质上都没有超过一般均衡理论的范畴。以下将着重研究的柯布—道格拉斯函数和里昂惕夫函数在CGE模型中各自深刻的含义。

二、柯布—道格拉斯函数

柯布—道格拉斯函数（即C—D函数）是经济实证研究中应用最广泛的一个，由美国经济学家道格拉斯和数学家柯布两人共同发明，两人的合作方式和后来的广泛应用都具有一定的偶然性。

（一）C—D函数的产生

20世纪初，美国芝加哥大学的经济学家道格拉斯在研究美国制造业1899—1922年度统计资料时，将有关雇佣劳动、固定资本、实际生产等数据标在对数坐标纸上时，发现有关生产的散点被夹在劳动和固定资本散点带之间，而且在这两条点带间距的四分之一之处波动[19]。根据道格拉斯的回忆，他一直没有思路找到一种数学形式表达这种关系，直到他到阿默斯特学院短期访问教学时，由同一所学院的数学教授柯布轻易解决。这就是后来所看到的C—D函数雛形[18]，于1928年发表在《美国经济学评论》上，原始形式如下：

公式（1）中，P为工业产出（后多用Y代替），L为劳动投入，C为资本（后多用K代替），b和k（后多用A和α代替）为两个需要计算的参数。通过回归计算得出，资本和劳动这两种生产要素对于美国工业总产出的贡献（即所占份额）分别为0.25和0.75，即产出的主要部分（四分之三）都应归属于劳动。这个模型隐含的劳动和资本报酬份额几乎恒定这一规律，在成为“卡尔多特征事实” （是宏观经济领域中能够反映经济运行的真实和基本特征的具有代表性的关键性事实，共包括6条，其中第5条就是“各种生产要素的收入在国民收入中所占的分配份额大体上稳定不变”）的一部分后，变得更为人所知。此外，在CGE模型中，C—D函数通常用于将劳动力和资本两种生产要素进行组合，形成新的增加值项[2]。这是考虑到在实际生产中劳动和资本有一定的替代效应，即人工可以干的活一般可以由一定数量的机器代替，而且在宏观上可以假设这个替代效应是基本固定的。

（二）C—D函数的应用历史

因为C—D函数恰好满足了经济学家所关心一些性质，无意间满足了后续经济学家进一步计算的需求，从它被发明开始就一直被很多学者应用。更是由于道格拉斯在芝加哥大学任教，后来他的C—D函数形式被他的同事、诺贝尔经济学奖获得者保罗·萨缪尔森和罗伯特·索洛分别采用，配合他们在微观和宏观经济学理论和教科书的传播，C—D函数成了经济学教学和实证研究中最常用的基本形式。萨缪尔森在他的《经济学》中，将C—D函数作为生产函数的基本形式，让全球的经济学学生熟知。索洛以C—D函数为基础模型，提出了一个新古典增长模型（索洛—斯旺模型）[24]，这是一个外生技术增长模型，由于资本收益递减规律仍然存在，这就出现了所谓的索洛余值。由此衍生的全要素生产率和科技进步贡献率，是各国政府现如今都关心的重要指标。

由于函数形式中关于劳动和资本报酬份额几乎恒定这一早期“卡尔多特征事实”在实际中已发生变化，如1971—2011年间劳动份额出现全球下滑的趋势[21]，很多学者开始质疑模型的准确性，道格拉斯也曾多次出面回复[19]。但是，C—D函数以其简单的形式、恰到好处的复杂程度，在经济理论的分析和应用中仍然具有很重要的基础地位。值得一提的是，将C—D函数影响范围扩大的萨缪尔森和索洛有一位共同的老师——瓦西里·里昂惕夫。他还通过短期培训方式影响了德布罗等一大批经济学家，而他传授的就是投入产出模型。

三、里昂惕夫函数

里昂惕夫函数（也叫投入产出函数）是一种形式更简单、应用更广泛的函数形式。这个函数简单到不用学习高等数学就可以去运用，但它同时蕴含的“大而化简”的哲学思想又很难被复制。

（一）里昂惕夫函数产生的历史

如果追溯投入产出思想的起源，里昂惕夫自认法国的魁奈曾对他产生过较大影响[20]。但根据研究，他的思想跟苏联计划经济有一定渊源，虽然他本人对此并不认同[22]。首先，里昂惕夫的父亲曾深度参与过苏联国民经济平衡表的编制工作，这种大规模系统计算方法对他多少有些启发;其二，里昂惕夫心中对苏联有一定的怨言，苏联因为政治原因曾逮捕过他，这也许是他不愿多提苏联积极影响的原因[23]。也许正是苏联经济理论中的不足，引发了他对更加完备的投出产出方法的思考，成为他后来思想的萌芽。

里昂惕夫生产函数的基本形式是：

由于公式（2）在数学上不是那么直观，可以借助案例说明。比如，飞机生产需要如发动机、机翼、起落架等一系列的中间投入，而实际中间投入组合必须包括至少一个发动机、两个机翼和一个起落架等。如果想多生产一架飞机，就需要多增加一整套飞机的中间投入，仅仅多投入一个发动机而不增加机翼等其他配件将不会增加飞机的产出数量，要素间不可替代。如果把劳动和资本都看作仅有的中间投入，在里昂惕夫函数条件下，当aK = bL，资本和劳动力就可以达到最优组合，可以全部被用于生产。否则，多余的生产要素就会出现剩余和闲置，资源将得不到充分利用，出现浪费现象。

里昂惕夫函数所描述的不可替代生产关系其实是最直观和最简单的，体现的这种固定投入比例关系不仅广泛存在于微观的生产，也存在于宏观的经济结构，在没有明显技术变革的情况下很少改变，因此，里昂惕夫函数也被称为固定比例生产函数[1]。通过对经济系统中的关键数据进行收集，再利用矩阵进行系统计算，可以将固定关系用系数的形式表现出来。CGE建模者通常假定中间投入以固定的比例用于生产，这意味着对于任意给定的投入组合，生产者不能增加一种中间投入从而去替代另一种中间投入。

（二）里昂惕夫函数的应用

投入产出方法得到重视是在第二次世界大战期间，当时美国军方相信，高度精细化的德国工业体系中肯定存在某些关键点（不可替代的中间投入），只需要“打蛇打七寸”——轰炸少数的关键点，就可以使德国军事工业瘫痪。军方使用里昂惕夫方法绘制了德国军工投入产出表，并发现关键性的滚珠轴承工业，继而发现了滚珠。滚珠虽小，但应用面广，损坏频繁，生产集中，还不被军方重视。事实证明，美军摧毁了仅有的几家滚珠工厂后，整个德国滚轴工业停转，前方的飞机、大炮和机械化部队很快瘫痪。里昂惕夫的方法让一颗小小的滚珠发挥了巨大的威力，为二战胜利做出了巨大贡献。此后，里昂惕夫又长期编制美国投入产出表，在各种预测方面都收到了良好的效果。

五、总结

总之，分析常用经济函数的产生背景、原始内涵和应用历史对中国总结改革开放经验，发展具有中国特色经济学新理论具有重要的借鉴作用。从具体分析C—D函数和里昂惕夫函数的过程可以看出成功的经济建设经验、完备的统计数据、坚实的数学基础研究和系统的简化思想都对经济理论的创新具有重要意义。这就要求中国学术界勇于担当历史责任，打好数据和数学的基础，开拓思维，与其他学科或国外科学家们开展实质性的合作，共同努力创新。此外，数学语言虽然可用来帮助学者快速掌握经济基本变化规律，但數学不是经济学的全部，还要在研究中加上历史分析。要让经济学思想伟大的创造历程激发青年学者的热情，让他们在学术道路上迎难而上，继续前行。希望在不久的将来，中国的经济学家能够在国际中取得更多的话语权，不仅仅是对中国的成功经验进行总结，更能为其他国家的发展提供理论上的支持。

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