纯滚动单圆弧齿轮弯曲强度研究

2020-09-14赵林林黄小平徐建高

机械设计与制造 2020年9期

赵林林，黄小平，徐建高

（1.南京林业大学机械电子工程学院，江苏南京 210037；2.江苏财经职业技术学院机械电子与信息工程学院，江苏淮安 223003）

1 引言

纯滚动单圆弧齿轮[1-3]是一种新型的圆弧齿轮，其啮合位置在节点处，作为一种新型的圆弧齿轮，其弯曲强度公式还未形成，在计算过程中借鉴单圆弧齿轮[4]的弯曲强度公式，会造成很大的误差。文献[5]利用正交试验法对直齿面齿轮进行强度模型研究，文献[6]利用正交试验法对面齿轮进行齿根弯曲应力的研究。对新齿轮的开发研究，正交试验法是一种重要的手段。

因此，从统计学角度，利用正交试验法对纯滚动单圆弧齿轮啮合过程中的弯曲应力进行分析，得出影响弯曲应力的主要参数，并得出纯滚动凸圆弧齿轮和凹圆弧齿轮弯曲应力与参数之间的关系式。

2 纯滚动单圆弧齿轮几何模型建立

利用Pro/E 参数化设计方法对纯滚动单圆弧齿轮[7]进行建模（参数输入—创建基准曲线—绘制法面齿形槽轮廓线—扫描混合—阵列齿轮），得到模型，如图1 所示。

图1 纯滚动单圆弧齿轮的三维模型Fig.1 Three Dimensional Model of Pure Rolling Single Arc Gear

3 纯滚动单圆弧齿轮的参数选择

为了获得纯滚动单圆弧齿轮弯曲应力的分布规律，需要正确选择分析模型的参数。因为纯滚动单圆弧齿轮的设计参数很多，每种因素存在多种变化，如果开展全面试验，试验量会非常大。而通过正交试验法确定纯滚动单圆弧齿轮的设计参数，将大幅度降低试验的次数，而且还会提高试验的可信度。

本次正交试验的指标为纯滚动凸圆弧齿轮的弯曲应力和纯滚动凹圆弧齿轮的弯曲应力，目的为提高纯滚动单圆弧齿轮的弯曲强度。因素为模数mn、凸圆弧齿轮齿数z1、传动比i、压力角α、螺旋角β、名义接触力F0，共有6 因素，其他参数如齿顶高系数、顶隙系数、纯滚动凸圆弧半径系数和凹圆弧半径系数为定值，不发生改变。取齿顶高系数ha*=0.4，顶隙系数c*=0.2，纯滚动凸圆弧半径系数=1.5，纯滚动凹圆弧齿轮半径系数=1.65。根据文献[8-9]，采用六因素五水平的正交试验表，共做25 次试验，即L25（5）6。正交试验的因素水平，如表1 所示。

表1 试验因素及水平Tab.1 Test Factors and Levels

4 纯滚动单圆弧齿轮齿根弯曲应力的有限元计算分析

4.1 纯滚动单圆弧齿轮的有限元模型

根据纯滚动单圆弧齿轮啮合理论，利用Pro/E 参数化设计纯滚动单圆弧齿轮。在对纯滚动单圆弧齿轮做接触分析时，需要对模型进行简化，为能够得到纯滚动单圆弧齿轮啮合时完整的啮合过程，分别选取3 对齿进行啮合分析。同时，对齿轮的轮毂部位简化[10]，推荐选取齿轮简化内圆半径rn≤rf-1.5mn，式中：rf—齿根圆半径；mn—齿轮的模数。采用3D 实体模型进行静力学分析，材料采用结构钢，其弹性模量为2.11GPa，泊松比为0.3。网格划分时采用扫略网格划分，经多次试算，单元棱长取1mm，结果收敛。凸圆弧齿轮和凹圆弧齿轮为柔体-柔体接触，并为面-面接触，其中设置凸圆弧齿轮为接触面，凹圆弧齿轮为目标面。

图2 纯滚动单圆弧齿轮的有限元模型Fig.2 Finite Element Model of Pure Rolling Single Arc Gear

纯滚动单圆弧齿轮基于弹性理论的有限元分析理论依据为小变形理论，其边界条件为：在凹齿轮的内圈进行全约束，凸齿轮的内圈进行轴向和径向约束，在凸齿轮内圈施加转矩。以第13 组为例，其有限元模型，如图2 所示。

4.2 纯滚动单圆弧齿轮的计算结果

为了更清楚看到纯滚动单圆弧齿轮的应变和应力情况，我们对其分开显示。纯滚动单圆弧齿轮的等效应变图，如图3 所示。纯滚动单圆弧齿轮的等效应力图，如图4 所示。虽然纯滚动单圆弧齿轮为在节点处点接触，但是经过一段时间的运行之后，其接触面为近似椭圆形，其长轴方向沿齿宽方向，最大的接触应力出现在接触椭圆中心位置，在此处的接触应变也最大，这与文献[11]中的结论一致，说明分析方法可行。为分析纯滚动单圆弧齿轮的齿根处弯曲应力，需要研究的路径的等效应力情况，如图5 所示。首先设置路径（1～2），然后提取此齿根线上的弯曲应力，将计算结果绘制齿根线（1～2）上的应力变化情况，如图6 所示。

图3 纯滚动单圆弧齿轮的等效应变Fig.3 Equivalent Strain of Pure Rolling Single Arc Gear

图4 纯滚动单圆弧齿轮的等效应力Fig.4 Equivalent Stress of Pure Rolling Single Arc Gear

图5 纯滚动凸圆弧齿轮中间接触齿齿根线Fig.5 Middle Contact Tooth Root Line of Pure Rolling Convex Arc Gear

图6 齿根线（1～2）上的等效应力变化情况Fig.6 Change of Equivalent Stress on Tooth Root Line（1～2）

通过图6 可以看出，13 组纯滚动单凸圆弧齿轮齿根处的最大等效应力大约在齿宽的中间位置。弯曲应力则取纯滚动凸凹圆弧齿轮接触侧轮齿齿根处的最大主应力进行分析计算。

将表2 中的每一组参数建立有限元模型，并进行仿真计算，得出纯滚动单圆弧齿轮的齿根弯曲应力的正交试验结果，如表3所示。

表2 纯滚动单圆弧齿轮弯曲应力正交试验方案及试验结果Tab.2 Orthogonal Test Scheme and Experimental Results of Pure Rolling Single Arc Gear Bending Stress

4.3 纯滚动单圆弧齿轮的正交试验数据的方差分析

为了提高纯滚动单圆弧齿轮的弯曲强度，对上述正交试验结果基于MATLAB 编写程序进行数据分析，其中，T—所有指标值的和表示任一列上水平号为i 时对应的试验指标和，可以通过判断来确定各因素的优水平。R 为极差，表示任一列因素各水平的试验指标最大值与最小值之差。R=max（Ti）-min（Ti），它反映了试验指标的变动幅度，R 越大，说明该因素对试验指标的影响越大。

在实际中，希望齿轮的弯曲强度越高越好，即需要弯曲应力越小越好，因此在选取时应取使指标小的水平。即选择Ti中最小的值对应的水平。

为更直观反映因素对试验指标的影响规律和趋势，绘制因素与指标的趋势图，如图7 所示。

为估计各因素对试验结果影响的重要程度，对其进行方差分析并列出方差分析表，进行因素显著性检验分析结构，如表3所示。根据文献[8]得出方差分析表，如表4 所示。

图7 因素与指标趋势图Fig.7 Tendency Chart of Factors and Indexes

表3 纯滚动单圆弧齿轮弯曲应力结果分析Tab.3 Bending Stress Analysis of Pure Rolling Single Arc Gear

表4 方差分析表Tab.4 Variance Analysis Table

通过表3 和表4 可以看出：对于纯滚动凸圆弧齿轮的弯曲应力的主次顺序为：AFEDBC，对于纯滚动凹圆弧齿轮的弯曲应力的主次顺序为：AFCDBE；同时结合表4 方差分析表，因素A为高度显著，因素F 为显著，对于纯滚动凸圆弧齿轮来说，因素DE显著，其他因素不显著，而对纯滚动凹圆弧齿轮来讲，因素BCDE都不显著，因此综合考虑，因素作用的主次顺序为：AFED BC。

根据图7 因素与指标趋势图，确定各因素的最优水平组合：对纯滚动凸圆弧齿轮的弯曲应力来说：A5F1E5D5B1C2，对纯滚动凹圆弧齿轮的弯曲应力来说：A5F1C1D1B1E2，综合平衡选取最优的参数，为实现纯滚动单圆弧齿轮弯曲强度最优的参数为：A5F1E5D5B1C1。通过以上分析，可以看出纯滚动单圆弧齿轮的模数、压力角、螺旋角及名义接触应力对纯滚动单圆弧齿轮的弯曲强度影响很大，在设计和应用齿轮时要注意这些参数。