类比思考 融会贯通——浅谈函数关于坐标轴对称图形的解析式

吉林省白城市洮北区铁路第二中学 吕万江

函数的学习是学生数学思维的一次飞跃，由原来常量的学习过渡到变量的学习，函数就是描述变化规律的一种数学模型。在初中学习阶段接触了三种函数：一次函数、二次函数、反比例函数。接下来，探究三种函数关于x轴、y轴、原点对称的图形的解析式。

在平面直角坐标系中，点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）；点（x，y）关于原点对称的点的坐标为（-x，-y）。利用对称点坐标的特征，就可以得出三种函数关于坐标轴对称图形的解析式。接下来结合实例对三种函数分别进行说明。

一、一次函数

例题1：已知直线y=2x-4，求此直线关于x轴、y轴、原点对称的直线解析式。

方法一：欲求直线y=2x-4 关于x轴对称的直线解析式，学生通常的做法是依据数学的一个基本事实“两点确定一条直线”，在直线y=2x-4 上任取两点的坐标，根据点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），得到这两个点关于x轴对称点的坐标，再利用待定系数法，求得直线y=2x-4 关于x轴对称的直线解析式。利用同样的方法，可以求出直线y=2x-4 关于y轴、原点对称的直线解析式。此方法易懂，有利于学生接受，但是运算量较大，在运算的过程中容易出现错误。

方法二：利用对称点的坐标规律，如果两个点关于x轴对称，那么这两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数。顺着这个思考方向，如果两条直线关于x轴对称，那么这两条直线上所有的对称点的横坐标都相等，纵坐标都是互为相反数。也可以这么理解：已知直线解析式与所求直线解析式中x的值是相同的，y的值是互为相反数的。所以可以不改变直线解析式y=2x-4 中x的值，用-y代换解析中y的值，就可以得到直线y=2x-4 关于x轴对称的直线解析式。利用同样的方法，不改变直线解析式y=2x-4 中y的值，用-x代换解析中x的值，就可以得到直线y=2x-4 关于y轴对称的直线解析式；用-x代换解析中x的值，用-y代换解析中y的值，就可以得到直线y=2x-4 关于原点对称的直线解析式。

二、二次函数

例题2：已知抛物线y=x2-2x+2，求此抛物线关于x轴、y轴、原点对称的抛物线的解析式。

方法一：在没有任何铺垫的情况下出示此题，学生会从顶点式入手解决问题。把一般式y=x2-2x+2 化成顶点式y=（x-1）2+1，而抛物线y=x2-2x+2 关于x轴对称的抛物线形状大小与原抛物线相同，但开口方向相反，可知所求抛物线的二次项系数为-1，顶点坐标与原顶点坐标关于x轴对称，因此，抛物线y=x2-2x+2 关于x轴对称的抛物线的解析为y=-（x-1）2-1。此方法直观形象，也有利于学生接受。再用同样的方法，可求抛物线y=x2-2x+2 关于y轴、原点对称的抛物线的解析式。

方法二：仿照例题1 的方法一，学生需要找到原抛物线上的三个点，再根据点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y），得到这三个点关于x轴对称点的坐标，再利用待定系数法，求出抛物线y=x2-2x+2 关于x轴对称的抛物线的解析式，此方法计算量大，增加出错的机率。

方法三：仍然利用对称点的坐标规律，如果两条抛物线关于x轴对称，那么这两条抛物线上所有的对称点的横坐标都相等，纵坐标都是互为相反数，因此可以不改变抛物线解析式y=x2-2x+2 中x的值，用-y代换解析中y的值，就可以得到抛物线y=x2-2x+2 关于x轴对称的抛物线的解析式。利用同样的方法，就可以得到抛物线y=x2-2x+2 关于y轴、原点对称的抛物线解析式。此方法可以快速求得所要的解析式。

立足于学生已有的知识基础与经验，在探究一次函数关于坐标轴对称图形的解析式的过程中，不断引导学生用类比的方法，通过点对称轻松求出二次函数、反比例函数的对称图形的解析式，从中感悟共同之处，并体会其中所蕴含的思想方法。