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数列教学,思想塑造
——高中数学数列课堂教学的思考

2020-09-14江苏省吴江中学张学琴

数学大世界 2020年23期
关键词:归纳法方程函数

江苏省吴江中学 张学琴

数列是高中数学课程教学过程中的重难点,在教学过程中,其教学目标就是向学生传授基本的数学规律和基础数列模型,让学生能够理解数列通项、数列求和以及数列的综合问题。通过将相关的数学思想合理地融入高中数学数列的教学过程中,便能够最大限度地提升高中数学数列教学的实效性。

为了能够最大限度地提升高中学生的数学核心素养,在数列课程的教学过程中应合理地渗透数学思想,有效拓展学生的数学思维。其中,函数思想、转化思想、方程思想、递推思想、归纳法是高中数学数列教学中较为常见的数学思想,对提升高中数学数列教学的水平具有重要意义。

一、数列中的函数思想及其应用

数列本质上就是一种特殊的函数,如能用函数思想来探究数列问题,可以达到事半功倍之效。函数问题在解决过程中讲究的是整体思想,需要从整体角度去分析问题,尤其是一些题干意思不明确的难题,往往会让学生走很多冤枉路。

案例1:等差数列{an}中的前n项和为Sn,已知Sn=m,Sm=n(m≠n),求Sm+n。

在教学中发现,大部分学生都是用列方程组求基本量的方法:

此种方法计算量大而烦琐,浪费了课堂或考场上的宝贵时间。学生不能从整体上去看待数列问题,从而无法灵活地运用相关的数列公式。为了帮助学生更加深入地理解数学知识点,提升学生整体看待问题的能力,指导学生作如下处理:

二、融入转化思想,化繁为简

数列问题都比较抽象,学生在解答数列问题时常常无从下手,这时合理地融入转化思想,把抽象的数列问题转化成为实际问题,这样更容易让学生理解和掌握,之后再引导学生使用数列的相关知识进行求解。

案例2:2020 年某地区突发流感,据统计,本月第一天感染人数为20 人,之后每天感染人数增加50 人。为更好地控制感染人数,医疗机构采取针对性的预防措施,该地区感染人数从本月某天起平均比前一天下降了30 人,截止到本月30 号(按30 天计算),这个地区总共感染人数达到了8670 例,试求这个月哪一天感染流感的人数最多?求出这天具体感染人数。

通过分析发现,这道题中主要涉及等差数列的相关知识点,从本月的1号到n号,每日流感感染人数构成公差为d1=50的等差数列{an},而从n+1 天开始到最后一天,又构成公差为d2=-30 的等差数列{bn},故得下列解法:

因为a1=20,d1=50,则an=50n-30,

通过对上述问题解答后发现,一些实际生活中较为复杂的问题,能够直接转化成为数列问题进行解答,这样不仅融入了转化思想,而且也是数列知识点的实际应用,为提升学生的数学素养创造良好的条件。

三、应用递推思想,探索规律

在高中数学课程的教学过程中,递推思想是较为常用的一种解题思想,其主要是应用到复杂的通项问题的解答过程中。在递推思想中主要涉及两种计算方法:一种是累加法,另外一种则是累乘法。累加法在应用的过程中是将数列中的各项累计求和,并从中找到问题解答的突破口,简化问题的解答步骤。

通过合理利用累加思想便能够得出:

an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+……+(a3-a2)+(a2-a1)+a1

四、合理渗透归纳法,提升思维能力

数列是定义域为正整数的特殊函数,而考题中的数列往往是有规律的,要寻找规律,数学归纳法是一个很好的工具。让学有余力的同学手中多一点有用的武器,对于提高解题能力是极有好处的。数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法,在应用过程中的步骤为:观察分析、归纳总结、假设猜想和证明结论。

五、引入方程思想,培养思维灵活性

在当前高中数学的解题过程中,方程思想是较为常用的一种解题思想。在数列中含有的基本量为:a1,n,d(q),an,Sn,在求解的过程中,利用已知的三个量求其余未知量是常见题型,有些题目巧妙引入方程思想能更高效地解出答案。

案例5:等差数列{an}中,公差d>0,a3·a7=-12,a4+a6=-4,求Sn。

由等差数列的性质得a3+a7=a4+a6=-4,所以a3和a7是方程x2+4x-12=0 的两根。又d>0,得出a3=-6,a7=2。

总之,数列是高中数学课程教学过程中的重难点。为了能够有效提升高中学生的数学核心素养,便需要老师引导学生形成良好的数学思想,通过将函数思想、转化思想、递推思想、归纳法、方程思想等引入高中数学数列课程的教学过程中,有效拓展学生的数学思维,也体现了数学的奇妙之美,在激起学生对数学学习兴趣的同时,也促进了知识的掌握及能力的形成,以此达到强化高中学生数学水平的目的。

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