基于经验 理解概念

施孟君

摘要：本研究先结合實证分析了学生认识“高”的困难点，再思考如何通过经验改造促进“高”概念的形成：基于经验，生长概念;逐步改造，理解概念;以理促画，形成技能。

关键词：经验改造;深度学习;底和高

“底与高”是小学数学“图形与几何”中一个很重要的概念，也是一大难点。那么学生在画高时遇到了什么困难？如何帮助学生深度理解高的概念。

一、厘清：学生画高出现的问题

课堂上我们一步一步列出画高的具体步骤，反复强调画法，但当画三角形的高时，每次都会有人做错。下面是我们收集到的错例，学生不能准确地找到一个顶点、对应的底边，画出垂线段。

二、剖析：学生画高难的原因

1.教材的“讲述”与学生的“理解”不符，不利于突破难点。北师大版教材从桥洞限高的线段抽象出梯形的高，再通过迁移画出垂直线段，认识平行四边形和三角形的底和高，概括出高的概念。而在学生的认知当中，高是“从一个最高点到地面的垂直线段”，他很难理解为什么底可以不在地面？生活中的物体明明只有一种高度，为什么平行四边形有两种高度、三角形有三种高度？并且我们都知道三角形的高是平面图形的高中最难的，尤其是钝角三角形上以钝角的边为底时的高，教材从梯形的高引入，很难正迁移到三角形的高。据此分析，教材的讲述与学生的认知不符，导致学生很难准确理解平面图形高的概念。

2.概念与技能分离，重技能训练轻概念理解。在之前的教学中，我们通常先是介绍式的认识“什么是高”，接着让学生识记高的概念;然后教给学生画高的具体步骤，并进行强化训练。在时间上我们会用尽量短的时间认识“什么是高”，接着花大量的时间学习“怎么画高”。然而一个正确的学习过程应该是以下面的“序”进行的：是什么（概念理解）→怎么得到（技能训练）。就高而言，高是从一个顶点到对面底边的垂线段，而画高也正是运用这一概念得到。由此，我们可以很清楚地认识到，“什么是高”是根本与源泉，有了“什么是高”的理解，才能自然而然地生长出对画法的理解。

三、思考：理解高概念的策略

俞特说“用学生的明白来明白数学的明白”，即学习过程应立足于学生在生活中获得的生活经验，经过不断的提炼、改造，形成科学的数学认识，从而形成数学学习的语言要素。

（一）基于经验，生长概念

学生从出生开始就在体验、运用“高”，小到自己的身高，大到人生的高度，已经积累了丰富的生活经验。生活中不管是什么事物的高都是从最高点到最低点（地面）的距离。我们选择“树高”作为本节课的第一素材原因有三点：第一，树高是每个孩子都熟悉的，哪怕是幼儿园的小朋友都知道“量树高是从树根量到树的最高点”，熟悉的事物能容易唤起学生的已有经验。第二，树与三角形有异曲同工之处。树是长在地面上的，地面可以无限延长，三角形的边也可以延长。树被吹弯了，树高变了;三角形翻转了，高也会变。第三，树直立时树长就是树高，就像直角三角形中底和高重合;树弯了时树的高，好比钝角三角形以钝角的边为底时的高。树高的格式化为后面认识三角形的高打下了良好的伏笔，从而让三角形的高扎根于学生的已有认知，自然生长。

（二）逐步改造，理解概念

生活中的物体通常是只有一种高的，如身高，不管人是站着还是坐着、躺着，身高都是指人直立站在地面时，从头顶到地面的距离;树高也是如此，是从树顶到地面的距离。而三角形有三种高，为了让学生自然地接受这个不同，我们创设了“台风来了，三角形翻转了”的情境。在情境中学生明白了每个顶点都可以作为“最高点”，每条底边都可以想成“地面”，3条底对应3条高。

认识“底和高”学生需经历两次经验改造的过程，第一次从树高是从树顶到地面的垂线段→三角形的高（有地面）是从顶点到地面边的垂线段;第二次“去地面”，从三角形的高是从顶点到地面边的垂线段→三角形的高是从顶点到底边的垂线段。本节课的改造过程可以用下面的流程图来表示。

环节1：    树高                    最高点   到    树根   的这条直线

↓        ↓      ↓           ↓

树顶     到    地面    的垂线段

↓        ↓      ↓           ↓

环节2： 钝角三角形的高     顶点     到  地面边   的垂线段

↓        ↓      ↓           ↓

环节3： 锐角三角形的高     顶点     到   底边     的垂线段

这个过程教师一点一点启发学生用学过的知识将自己的明白格式化，从而在不知不觉中用学生的明白来明白数学的明白。这样不仅使学生理解了高的概念，而且在一点一点的改造过程中学生找到了知识产生的根，了解了知识生长的序。

（三）以理促画，形成技能

“什么是高”是这节课根本与源泉，只有真正理解“什么是高”，才能自然而然地生长出对“怎么画高”的理解。因此，这节课我们将始终围绕“什么是高”展开教学，强化高的概念、弱化画高的技能。我们希望学生用概念思考概念、用概念思考技能，即学生在画高时心中想的是“从一个顶点到对面底边的垂线段”，进而找到一个顶点、对面的底边、画出垂线段，让画高的技能在理解高的本质属性的过程中自然而然地形成。用意义来支撑画法的理解，呈现出一个完整的具有探究发现特质的思考过程，其气脉十分通畅。

参考文献：

[1]《义务教育数学课程标准》（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]俞正强.《种子课：一个数学特级教师的思与行》[M].北京：教育科学出版社，2013.