巧用反证法 让数学解题“柳暗花明”

摘 要：高中数学解题中，不少的题目通过正面角度难以解答，如果换个角度可以非常轻松地解答问题.反证法是属于逆向思维解题方式，在高中数学解题中广泛使用.通过反证法解题，可以更加简便地获得结论，完成数学问题解答，同时可以锻炼学生思维模式，引导学生更好地掌握数学知识.文章中结合数学例题，探究反证法的应用策略.

关键词：高中数学;反证法;应用策略

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2020）34-0030-02

收稿日期：2020-09-05

作者简介：陈辰（1986.2-），男，安徽省六安人，本科，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

一、利用反证法，解决数列问题

高中数学的知识内容比较多，并且知识复杂繁多，在解题过程中存在不少的困难，使得学生难以完成解题.数列作为高中数学的重要知识内容，题目复杂多变，涉及到的知识内容比较多.部分数列问题在解题中，从正面思考有着很大的难度，面对这样的情况，教师可以引入反证法，帮助学生解决解题中的困扰，明确题目解题思路，快速、准确地解答问题，提高学生解题能力.

例1 已知等比数列{an}的公比是q，其前n项和为Sn，判断数列{Sn}是否为等比数列.

解析 通过对题目问题进行分析，得出问题属于定性命题，此种问题类型想要从正面进行解答或者证明，其难度比较大，证明的过程非常复杂.因此，教师引导学生利用反证法，利用逆向思维进行解题.设数列{Sn}是等比数列，所以S22=S1S3，根据题意得出a21（1+q）2=

a1·a1（1+q+q2）.因为{an}为等比数列，所以a1≠0，对上式简化得出（1+q）2=1+q+q2，通过整理解答得出q=0，与等比数列中公比不等零相互矛盾，所有原来的假设不成立，因此数列{Sn}不是等比数列.

点评 面对复杂的数列问题，如果从正面求解比较困难，引导学生灵活利用反证法，节约学生解题时间，提高学生解题准确性，保证学生课堂学习效果.因此，在具体的解题教学中，应当打破以往解题方式的约束，加强学生发散思维培养，对所学知识进行综合理应，在最短的时间内容找到最佳的解题方式，提高解题教学效果.

二、利用反证法，解决命题证明题

1.唯一性命题解答

数学作为一门基础性学科，涉及到的数学概念、性质、公式等内容比较多，在实际的解题中，命题证明问题是常见的问题类型.不少唯一性命题的证明问题从正面是很难得到证明的.因此，面对命题证明问题，需要对题目类型进行分析，灵活引入反证法，从反面进行证明，完成唯一性命题的解题.

例如，在圆的知识学习中，所学学生都知道一个圆只有一个圆心，那么怎样去证明呢.面对这样的问题，教师可以引导学生从反面进行思考和证明.假设一个圆有两个圆心，分别是圆心O和圆心A，在圆内作出任意一条弦CD，找出CD的中点E，将AE和OE连接起来，在这样的情况下，经过直线CD的中点E存在两条直线和CD垂直.这样的结论和“经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直”的性质相互矛盾，因此，假设不成立，则证明一个圆只有一个圆心.

2.必然性命题解题

在必然性命题证明中，可以将题目中的结论加以否定，将原来的肯定命题转变成否定命題，通过相应的论证，推断否定命题不成立，得出原命题正确的几轮，完成题目的论证.因此，面对必然性命题解题时，需要对题目内容进行分析，准确分析其原命题，做出相应的假设.在论证时，应当保证其严谨性，避免出现论证遗漏等问题.

例2 已知a、b、c均为正整数，并且a2+b2=c2，a为质数，求证：b、c两个数字必然是一个偶数、一个奇数.

解析 在证明时，假设b、c两个数字都是偶数或者都是奇数，根据a2+b2=c2进行转化，c2-b2=a2，所有（c-b）（c+b）=a2，根据奇偶数的性质可以得出c-b和c+b都是偶数，所以得出a2为偶数.根据已知中a为质数，所有，当a=2时，则（c-b）（c+b）=4，通过求解得出b、c的值，根据题目中a、b、c都是正整数做出判断，证明b和c两个数字为一奇一偶.

3.解答无限命题

高中数学解题中，部分题目的条件比较少，从正面很难做到求解，因此，需要引导学生掌握反证法，从反面进行思考和解题，培养学生解题能力.

例题：求证6是无理数.

解析 在此题目中，能够利用的条件非常少，从正面解题没有明确的思路，无理数是无限不循环的，很难进行表示.如果利用反证法，假设6是有理数，那么可以增加一个已知条件，将6通过分数表示出来.

在解题中，假设6是有理数，那么存在m，n∈N*，并且m、n互质.使得6=mn，转化得出m2=6n2，所以m为偶数，设m=2k（k∈N*），则有42=6n2，3n2=2k2，那么n也是偶数，这与m、n互质矛盾，因此6为无理数.点评 面对命题证明问题，引导学生对命题类型做出分析，根据其结构特点，做出相应的假设，根据题目内容进行分析，灵活利用反证法完成题目求解.

三、利用反证法，解答不等式问题

不等式作为高中数学的重要内容，不等式问题也是学生解题中的难点问题，对于一般的不等式问题，学生通过分析法、综合法和比较法就能完成解题，但是，对于一些较为极端的不等式问题，通过此三种方式很难解题，甚至不能完成解题.此时可考虑引导学生利用反证法解题，培养学生多种解题方式，强化学生解题能力.

例3 已知a、b>0，求证：a3+b3≥a2b+ab2.

解题时，利用反证法进行解题，先假设不等式不成立.则有

a3+b3

（a-b）2<0.这与任意实数的平方非负矛盾，所以假设不成立.

点评 高中数学不等式解题中，题目类型丰富多样，形式各不相同，虽然综合法、比较法等解题方式是常见的解题方式，解题更加准确、快速，但是，反证法有着其自己的优势，丰富学生解题方式，加强学生思维能力锻炼.

高中数学解题中，反证法是一种有效的解题方式，帮助学生解答疑难问题，明确解题关键点，找到最佳的解题思路.通过反证法的利用，加强学生逻辑思维能力培养，提高学生创新能力.因此，作为高中数学教师，应当根据题目类型，做出相应的分析，灵活利用反证法，有效解决数学难题，提高学生数学解题能力.

参考文献：

[1]谷小溪.例谈反证法在高中数学解题中的应用[J].读与写（教师），2019（2）：246.

[2]宋泽.高中数学解题中的反证法应用初探[J].数理化解题研究，2018（21）：27-28.

[责任编辑：李 璟]