基于TI图形计算器培养学生几何直观的实践与反思

摘 要：对“简单线性规划“这节课，从教学目标、重难点分析出发，制订教学设计，并根据设计进行了教学实践，做了实践后的反思。本节课的核心在于让学生通过二元一次方程组求解简单线性区域问题，进一步利用图形计算器的几何操作系统解决非线性规划问题。探索图形计算器对于培养、提升学生几何直观核心素养的作用，拓宽教学思路。

关键词：简单线性规划;TI图形计算器;教学实录;教学反思;几何直观

直观想象作为普通高中数学课程标准（2017年版）》里的六大数学核心素养之一，是指，借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思维过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述、分析数学问题;建立形与数的联系;构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路[1]​。数形结合的教学方法是发展学生的几何直观能力的重要手段之一。根据图形的变化分析数学问题，以此促使学生建立数和形的关系，从直观模型中分析数学问题，并探究解题思路。作为一名高中老师，如何有效将数形结合实施于课堂呢？笔者在前一阶段开设一节市级公开课，内容为高中人教A版必修5《简单线性规划》第二课时。本节课基于TI计算器的运用，对教材进行了大胆的创新，采用“例题+变式+拓展”的方式，让学生充分利用TI计算器直观展示的功能解决实际数学问题，教学效果明显。下面是本节课的教学实录、点评及反思。

一、教学目标：

1、知识与技能：在原有的平面区域的基础上，对线性规划问题的再认识，通过直线与圆、直线与圆锥曲线之间的相互关系，借助图形计算器，初步学会用信息技术解决平面区域规划问题。

2、过程与方法：通过对例一的讲解、变换，使学生熟练掌握图形计算器在解析几何上的使用。让学生充分体验TI图形计算器在几何直观上的帮助。

3、情感态度及价值观：让学生感受探究问题的乐趣和解决问题的成就感，感受手持技术对学习数学的帮助，了解图形背后的原理，形成严谨的治学态度。

二、重难点分析：

教学重点：利用TI图形计算器解决平面区域问题。

教学难点：熟练操作TI图形计算器并解决实际问题，找到最优解。

三、课堂实录：

3.1回顾旧知，熟悉图形计算器操作

教师：今天很高兴能来到海沧实验中学，和大家一起来利用手中的“神器”——TI图形计算器来解决今天的课题《简单的线性规划问题》。在上一节课的学习中，我们掌握了二元一次不等式（组）区域选择、可行域、目标函数的概念等，大家还记得么？

学生（众）：记得。

教师：很好，那我们先检测一下同学们的掌握程度吧，请同学们完成老师下发的这道题，利用TI图形計算器解决这道线性规划问题。

老师通过TI计算机终端将题目下发给学生，学生可在TI图形计算器上阅读题目，并新建绘图区进行画图操作。学生操作过程中，老师能根据终端学生操作情况，实时发现学生操作过程中的问题，或全班讲解或一对一纠正。

教师：用了图形计算机之后对于你们的学习过程有何帮助，与之前学习有何区别？

学生（A）：直观、方便计算是图形计算器最大的亮点，通过移动游标即可准确得到最值。

教师：既然图形计算器这么方便，解决直线问题显然大材小用了，我们何不利用它的优点，解决更加复杂的数学问题呢？在例一基础上，改变限制条件中的一个，大家会发现什么？

3.2小试牛刀，可行域由线性转换成非线性区域

例一：（可行域非线性，目标函数线性）

，求t=-x+y的最大、最小值。

学生：可行域由原来的线性区域变成了圆型域。

教师：是的，现在可行域变成了非线性区域，解决的方法是否会有变化呢？大家先自行进行操作，等下我们请一名同学来讲解下他的思路。

老师通过终端机观察学生操作，指出学生在图形计算器使用过程中出现的错误，待绝大部分学生操作完毕之后，让学生介绍操作过程并进行讲解。

上台的学生操作教师图形计算器，操作过程在电脑上同步播放。

教师：大家移动游标时，发现什么时候有最小值呢？

学生（众）：直线与圆相切时。

教师：如何求出直线与圆相切时t的值呢？

学生（B）：平移到只有一个交点。

学生（C）：不行，怎么知道他只有一个交点，看不出来的。

学生（D）：我看到计算器里头有一个求切线的功能，我可以在圆上任取一点，求出过该点的切线，移动该点，使切线斜率为1即可，老师你看，答案是-1.16。

教师：这位同学很聪明，能够探索到图形计算器里头的非常方便且重要功能——求过该点的切线。当然，同学们也不能忘记代数方法，通过联立圆与直线，令△=0也可以求解的。

点评：把线性区域加入圆形内部区域，组成非线性可行域，虽然加大了难度，但如果学生在例一中能够理解目标函数最值的本质，这道题也迎刃而解。几何直观在图形计算器的使用上体现得淋漓尽致，图形计算器虽然能够直观的展现函数间位置关系，但在计算切线方程时还需进行简单的代数运算，方可得到准确解。

3.3乘胜追击，目标函数由线性转换成非线性函数

教师：刚刚同学们都发现目标函数是直线，所以依旧是平移直线即可得到最优解，那如果目标函数变成我们不认识的函数呢？请看下一题。

例二：（可行域线性，目标函数非线性）

，求z=x2-2y2的最大、最小值。

教师：大家利用图形计算器发现目标函数是什么图形？

学生：两条曲线。

教师：这个函数大家不熟悉，这是同学们高二选修2-1要学习的新函数——双曲线。虽然我们不认识，但是我们有“神器“在手，大家试下如何解决这个问题。

老师提示学生观察目标函数，得到目标函数是一个双曲线，移动游标z发现，z的符号会影响双曲线的位置，从而影响答案。由于z符号不确定，固需对z进行分类讨论：

①当z>0时，目标函数是与x轴有两个交点的双曲线，此时为双曲线顶点到原点的距离，距离越大，z越大，当且仅当双曲线经过（-1，0）时，取到最大值，无最小值;

②当z<0时，为焦点在y轴上的双曲线，此时为双曲线顶点到原点的距离，距离越大，z越小，当过（2，3）时，最大，z最小，，无最大值。综上，

点评：双曲线是高二的知识，学生并不认识，更不清楚z对图像的影响。但TI图像计算器刚好弥补了这个空白，通过移动游标z，学生能够清楚观察到双曲线变化，从而对z进行分类讨论。教师围绕着线性规划问题，以例一为母题，通过改变可行域、改变目标函数，层层递进设计变式，加深了学生对线性规划问题的理解，并引入双曲线问题，让学生直观感受到当手持技术用于数学学习时，一切都发生了变化——只要输入数据，函数图像立即就出来了，通过移动游标，能清晰的感受变量对函数图像的影响，真可谓，技术演绎精彩。

3.4回归本质，区域规划问题的基本解决思路

教师：通过这节课，同学们初步掌握了利用TI图形计算器解决线性规划问题，有谁能总结一下具体步骤么？

学生（E）：1.画——画出约束條件所表示的可行域;

2.移——建立游标，构造目标函数，移动游标找出与可行域有公共点且z有最大值或最小值的图像;

3.求——根据图形计算器得出交点坐标，进而求出最优解;

4.答——做出答案。

教师：很好，今天我们用手中的“神器”不仅解决了简单的线性规划问题，连大家不熟悉的非线性规划问题也能迎刃而解。当然，图形计算器还有更大的能量，望大家在今后的数学学习中积极探索，利用好这个“神器”。

四、利用TI图形计算器教学后的几点思考

4.1手持技术，为老师提供新的教学方式

TI图形计算器不仅是一个可以求值作图的计算器，更是一个严格意义上的数学工作室，它具有良好的符号代数系统、几何操作系统、数据分析系统，可以直观绘制各种图形，进行动态演示、跟踪轨迹进行数学问题解决和数学实验，是一个可以随时随地探索的科学流动实验室。手持技术的引入，使得师生合作教学得以实现。通过监控终端，老师可以实现对每个孩子操作的了解，更好的掌握学生知识的接受程度。明确了学生在操作学习中的难点，进而开展针对性的教学。当然，这也对老师提出了更高的要求，要求老师需要在课余时间对整个设备操作方式的熟悉;设计的教学方案能够充分发挥设备的优势并与教学任务紧密联系;能够快速的解决学生在课堂上出现的操作问题。

4.2动手操作，提高了学生学习的积极性

手持技术的加入，使得学生能够真正的参与到教学活动中来，我们欣喜地看到课堂上学生的数学探索变得更加积极主动，强大的图形功能改变了过去纸上谈兵式的数学探究，实现了人机之间、师生之间、生生之间的积极互动.借助于手持技术，学生的自主探究、大胆猜想、合作交流成为现实，数学课堂也焕发了新的活力[2]。相较于以往老师讲学生被动接受，图形计算器及其相应的实验技术，为进行全面的数学教育提供了物质基础，为引导学生深层次地参与教学过程创造了条件，真正让学生成为课堂上的主人，知识的探索者。直观的操作体验，能让学生在探索中思考数学本质，，动手操作带来的震撼与深刻印象是传统讲授法无法做到的。

4.3保持清醒，深思手持技术的利与弊

固然手持技术有那么多好处，但在利用手持技术的同时还需要老师进行适度的引导，不能淡化一些需要学生动手完成的知识。例如本节课中，可以在课后再布置学生利用列表描点连线画出双曲线函数图像，改变参数，对比图形。我们要做到既教猜想，又教证明。图形计算器的作用主要是辅助与探索的工具，而学生动笔计算、独立猜想的过程更是今后学习数学的根基。只有这样，才能真正把握科学技术与数学教学的融合，才能真正培养学生的核心素养。

参考文献

[1]彭翕成;.例说数学核心素养[J].教育研究与评论（中学教育教学），2016，（05）：.

[2]蒋奎;.新课程理念下利用图形计算器改进学生数学学习方式的几点体会[J].数学学习与研究，2019，（11）：.

作者简介：朱鸿鹄，1991年11月，男，汉族，籍贯：福建泉州，厦门大学附属科技中学二级教师，本科，研究方向：信息技术辅助数学教学