一类具有梯度项的非线性抛物方程解的不稳定性

叶毅

摘要：本文通过引入特征函数及构造适当的破裂因子，讨论了一类具有梯度项的非线性抛物方程的行为.运用重要函数空间和重要的 不等式、 不等式等方法，以及积分、微分公式，证明了这类方程初边值问题之解在有限时间内爆破.

关键词：非线性抛物方程;破裂因子;特征函数

引言：“”

由于非线性抛物方程描述了物理、化学、半导体科学及量子力学的许多现象 ，因此对它的研究一直是人们主要的任务.目前，人们对非线性抛物方程

（1）

的局部解、整体解以及爆破性进行了大量研究，已取得了许多重要的成果，但对于含梯度项的非线性抛物方程

（2）

的爆破性质，近来才引起人们的关注，主要因为对于方程（2）的处理较之于（1）要困难得多.在[11]和[12]中，分别研究了一类典型的具有梯度项的非线性抛物方程

和

的特殊形式进行了研究，并取得了有益的成果.在此基础上，本文将考虑如下一类具有梯度项的非线性抛物方程

（3）

具有 边值的初边值问题.在文中通过引入特征函数的爆裂因子的方法，讨论方程（3）的解的不稳定性，所得结果推广了文[11-12]相应的结论.

1.主要结果

考虑如下初边值问题

（4）

（5）

（6）

其中， 是 中具光滑边界 的有界域， 是 算子， 是梯度算子， 定义在区域 上，引入 算子的线性特征值问题

（7）

（8）

人们知道，问题（7），（8）存在第一特征值 及对应的第一特征函数 ， ，并且 ，显然， 与 由 完全决定.

设 是属于如下空间

（9）

其中 由此，对问题（4）～（6）之解都是在此意义下理解.为了证明定理，我们首先对问题（4）～（6）之解的作如下增长估计.

定理设 .若初值 满足

（10）

则问题（4）～（6）之解关于时间 最多在

内存在，并且有

（11）

其中， 为正常数.

2.定理的证明

定理的证明设 是问题（4）～（6）在空间（9）中的解，设（9）中的T满足

（26）

在定理2的条件之下，引理1满足，

注意到 及条件（10），则

，

因此假设（26）不成立，即只能有

并且有（11）成立，其中 .所以问题（5）～（7）的解在有限时间内爆破.

参考文献

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