非中心奇异Wishart分布的特征函数

李 斐,李 琴

(烟台大学数学与信息科学学院, 山东 烟台 264005)

文献[1-2]中讨论了非奇异多元正态矩阵和非奇异Wishart矩阵的密度函数、特征函数以及其他一些重要性质．UHLIG[3]将Wishart分布推广到了奇异的情况,给出了奇异Wishart分布的密度函数等．DIAZ-GARCIA等在文献[4]中进一步推广和完善了UHLIG的结果,给出了更一般情况下的奇异Wishart分布的密度函数．更多的相关结果可以参阅文献[5-7]．

文献[1-2]给出了非奇异的Wishart矩阵的特征函数,其中文献[2]也给出了非奇异非中心的Wishart矩阵的特征函数．但是对于最复杂的奇异非中心Wishart分布的特征函数并没有讨论．本文不但给出了奇异非中心Wishart分布的特征函数,还将Wishart分布的一个重要性质推广到了奇异非中心的情况下,并用特征函数加以证明．

1 奇异非中心Wishart分布的特征函数

由文献[2]中矩阵正态分布的定义,易知若Yr×s～N(O,Is×s,Ir×r),即vec(Y′)～Nrs(O,Ir×r⊗Is×s)．令

X=M+AYB′,

其中An×r,Bm×s为列满秩矩阵．则不难得到

vec(X′)=vec(M′)+A⊗Bvec(Y′)～Nmn(vec(M′),AA′⊗BB′),

即X～Nn×m(M,Σ,Θ)．其中Θ=AA′,Σ=BB′,rank(Σ)=s,rank(Θ)=r．当Σ,Θ为奇异矩阵时,称X服从奇异的正态分布．

文献[3]将Wishart分布推广到了n

定义1 若X～Nn×m(M,Σ,Θ),其中rank(Σ)=s,rank(Θ)=r．令

S=X′Θ-X,

则S服从奇异非中心Wishart分布,记为

其中Ω=Σ-M′Θ-M,q=min(r,s)．

下述定理给出了S的特征函数．

Σ-M′Θ-M,l=min(r,s)．则S的特征函数为

(1)

即为

(2)

证明 对Σ,Θ做特征值分解如下,

其中DΘ,DΣ分别为r×r,s×s阶的对角矩阵,对角元素为Θ,Σ的非零特征值．P,Q分别为n×n,m×m阶的正交矩阵．

令

(3)

注意到Z为奇异正态分布,根据文献[2]的定理2.1可以得到Z的密度函数表达式以及下式,

(4)

因为

采用文献[1]中对Wishart分布矩阵的特征函数的定义,注意到z1,…,zr相互独立,有

(5)

(6)

(7)

再令

(8)

(9)

将式(7),式(8)代入式(6)中,可得,

(10)

易知式(10)的前两部分相互独立,第三部分几乎处处为常数,将式(10)代入式(5)可得,

(11)

分别计算式(11)中的2个期望,对于第一个期望化简如下,因为

(12)

其中非中心参数

(13)

由非中心卡方分布的特征函数,式(12)可进一步整理,

(14)

计算式(11)中的第二个期望,

(15)

(16)

由式(9)得

以及式(3),将式(16)的第一个指数函数的指数部分化简如下,

(17)

式(16)的第二个指数函数的指数部分化简如下,

(18)

式(16)的第三个指数函数的指数部分化简如下,

(19)

式(16)的第四个指数函数的指数部分化简如下,

(20)

将式(17)—(20)代入式(16)可得式(1),进一步化简为式(2),故定理得证．

当M=0时,S即为中心的奇异Wishart分布,由定理2可得其特征函数．

当rank(Σ)=m时,即Σ为非奇异矩阵,由定理2可得其特征函数．

推论4的结论与文献[3]中的相关结果是一致的．

2 应 用

我们将文献[1]的定理3.2.5推广到奇异非中心的情况下,并利用定理2进行证明．

(21)

证明 分以下3种情况讨论:

(1) 当A为p×p阶正交矩阵时,由定理1,

故式(21)成立．

故式(21)成立．

(3) 因为p×m阶的矩阵A可进行奇异值分解,

其中U,V均为正交矩阵,则利用(1),(2)的结论,定理可证．