一类解三角形问题的多角度思考
2020-09-10杨苍洲
摘 要：已知某边分点的一类解三角形的问题，常常可以多角度地进行求解，如采用“向量法”，“算两次的方程思想”，“结合平面几何转化”.
关键词：解三角形;分点;解法
中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0009-02
一、典例分析
题目 （湖北省2020年第五届高考测评活动高三元月调考）如图1，
在△ABC中，cos∠BAC=14，点D在线段BC上，且BD=3DC，AD=152，则△ABC的面积的最大值为（）.
A.32B.4
C.15 D.23
解析 设BC=a，AC=b，AB=c.
1.向量法
由AD=14AB+34AC，所以AD2=14AB+34AC2，
AD2=116AB2+916AC2+38AB·AC，
154=116c2+916b2+332bc.
因为116c2+916b2+332bc≥1532bc，故1532bc≤154，bc≤8.
因此△ABC的面积S=12bcsin∠BAC=158bc≤15.
2.算两次的方程思想
在△ABC中，a2=b2+c2-2bc·cos∠BAC，
a2=b2+c2-12bc.
在△ABD中，cos∠BDA=1522+34a2-c22×152×34a;
在△ACD中，cos∠CDA=1522+14a2-b22×152×14a.
因为cos∠BDA=-cos∠CDA，所以1522+34a2-c22×152×34a=-1522+14a2-b22×152×14a，
化简得a2=4b2+43c2-20.又a2=b2+c2-12bc，
所以4b2+43c2-20=b2+c2-12bc，
3b2+13c2+12bc=20.
因为3b2+13c2+12bc≥52bc，故52bc≤20，bc≤8.
因此△ABC的面积S=12bcsin∠BAC=158bc
≤15.
3.结合平面几何的转化法
图2
延长AD到E，使得CE∥AB，则△DAB∽△DEC.
因为BD=3DC，则CE=13AB=13a，DE=13AD=156.
△ACE中，AC=b，CE=13a，AE=AD+DE=2153，cos∠ACE=-cos∠BAD=-14，
由余弦定理得
21532=b2+19a2-2×b×13a×-14，
化简得203=b2+19a2+16ab.
因为b2+19a2+16ab≥56bc，故56bc≤203，bc≤8.
因此△ABC的面积S=12bcsin∠BAC=158bc≤15.
4.结合平面几何的转化法图3
在AC上取点E使得DE∥AB.
因为BD=3DC，则AE=34AC=34b，DE=14BA=14c.
△ADE中，AD=152，DE=14c，AE=34b，cos∠AED=-cos∠BAD=-14.
由余弦定理得
1522=34b2+14c2-2×34b×14c×-14，
化简得154=916b2+116c2+332bc.
因为116c2+916b2+332bc≥1532bc，故1532bc≤154，bc≤8.
二、解法揭示
试题结构 在△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c.问题中常涉及的量：
（1）角∠BAC;
（2）点D在线段BC上，且BDDC=λ;
（3）AD的长度;
（4）△ABC的面积或周长等.
解题方法：
法一：可以采用“向量法”，把AD用AB、AC線性表示，即AD=1λ+1AB+λλ+1AC，两边平方后可得a，b，c，∠BAC的关系，再根据具体问题尽行转化;
法二：分别在△ABC，△ABD，△ACD中解三角形，注意到AD分别在△ACD、△ABD三角形内，∠BDA与∠CDA互补，BC=BD+DC等，应用算两次的方程思想，从而可得a，b，c，∠BAC的关系，再根据具体问题尽行转化;
法三：结合平面几何进行转化，先构造平行线，从而得到相似三角形，得到对应边成比例，再把已知的量集中在某个三角形内，解三角形得到a，b，c的关系，再根据具体问题尽行转化.
三、类题赏析
1.在△ABC中，A=π6，AB=33，AC=3，D在边BC上，且CD=2BD，则AD=（）.
A.27B.21C.5D.19
答案：D.
2.在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，且BD=1，则△ABC周长的最大值为（）.
A.23B.33C.32D.62
答案：D.
图4
3.如图，在△ABC中，∠BAC=π3，AD=2DB，P为CD上一点，且满足AP=mAC+12AB，若△ABC的面积为23，则AP的最小值为（）.
A.2B.3C.3D.43
答案：B
参考文献：
[1]杜志健.2017年全国各省市高考试题汇编（理科）[M].乌鲁木齐：新疆青少年出版社出版社，2017.
[2]许银伙，杨苍洲.我解压轴题之：端点尝试，预测思路[J].数理化解题研究，2018（1）：35-38.
[责任编辑：李 璟]
