例谈同角三角函数的基本关系式的应用技巧

刘立强

摘 要：同角三角函數的基本关系式有两个，一个是平方关系sin2α+cos2α=1（α∈R），另一个是商数关系tanα=sinαcosα（α≠kπ+π2，k∈Z），即同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，同一个角的正切等于正弦与余弦的比.同角三角函数的基本关系揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同角”上. 在利用同角三角函数的基本关系式时，若能运用一些技巧，则可以使求解过程化难为易.

关键词：例谈;同角三角函数;基本关系式;应用技巧

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0061-02

同角三角函数的基本关系式有两个，一个是平方关系sin2α+cos2α=1（α∈R），另一个是商数关系tanα=sinαcosα（α≠kπ+π2，k∈Z）.在利用同角三角函数的基本关系式时，若能运用一些技巧，则可以使求解过程化难为易.下面举例说明，供参考.

一、弦切互化

例1 已知tanα=-43，求2cosα+3sinα3cosα+sinα的值.

分析1 根据问题的特征，可将被求值式用含tanα的式子表示出来，代入即可.

解法1（弦化切） 分子分母同除以cosα，

原式=2+3tanα3+tanα=2+3×（-43）3+（-43）=-65.

分析2 化切“tanα=-43”为弦有“3sinα=-4cosα”，从而有意想不到的效果出现.

解法2（切化弦） 由tanα=sinαcosα=-43，有3sinα=-4cosα.

原式=3（2cosα+3sinα）9cosα+3sinα

=3（2cosα-4cosα）9cosα-4cosα

=3×（-2cosα）5cosα=-65.

点评 本题的两种解法，都体现了转化与化归的数学思想方法，解法1是把被求值式的分子和分母同除以cosα，即利用商数关系，把只含正弦、余弦的分式齐次式转化为只含有正切的式子，把正切的值代入即可，即弦化切法.解法2是利用tanα=-43，即sinαcosα=-43变形得3sinα=-4cosα，体现整体代换的数学思想，从而达到求值的目的，即切化弦法.

二、“1”的代换

例2 化简1-cos6α-sin6α1-cos4α-sin4α.

分析 把被求值式分子上的1用（sin2α+cos2α）3代换，分母上的1用（sin2α+cos2α）2代换，然后分别展开、合并化简，最后把sin2α+cos2α用1代换，从而达到化简的目的.

解 原式

=（sin2α+cos2α）3-cos6α-sin6α（sin2α+cos2α）2-cos4α-sin4α

=3sin2αcos2α（sin2α+cos2α）2sin2αcos2α

=32.

点评 求解本题分别逆用、正用了公式sin2α+cos2α=1，即1的代换，根据被求值式的结构特征，灵活地进行整体化运算，使繁琐的计算和推理达到简化.

三、和积转化

例3 已知-π2<x<0，sinx+cosx=15，求sinx-cosx的值.

分析 由-π2<x<0可得sinx<0，cosx>0，因此判断出sinx-cosx的符号，故只需求（sinx-cosx）2即可.

解 因为sinx+cosx=15，

所以（sinx+cosx）2=（15）2，

即1+2sinxcosx=125，

所以2sinxcosx=-2425.

因为（sinx-cosx）2=sin2x-2sinxcosx+cos2x=1-2sinxcosx=1+2425=4925①，

又-π2<x<0，知sinx<0，cosx>0，

所以sinx-cosx<0②.

由①②可知sinx-cosx=-75.

点评 利用（sinα±cosα）2=1±2sinαcosα的关系进行变形、转化;对于sinα+cosα，sinαcosα，sinα-cosα这三个式子，已知其中的一个式子的值，可求其余两个式子的值.本题也可以由sinx+cosx=15和sin2α+cos2α=1联立方程组求解.

也可以记sinx-cosx=t，将该式平方与已知式平方后相加，直接解出t的值.

参考文献：

[1]张文康.三种常见的三角函数题型及其解法[J].语数外学习（高中版下旬），2019（09）：49.

[责任编辑：李 璟]