坐标法解决向量小题

叶文明 李阳

摘 要：本文介绍了用坐标法来解答向量客观题，充分体现了数形结合的数学思想.

关键词：向量;求解;数形结合;建立坐标系

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2020）22-0047-04

一般来说，代数问题较为抽象，若能通过构造将之合理转化为几何问题，利用“数形结合”这一重要思想方法，往往可增强问题的直观性，使解答事半功倍或独具匠心，数学家华罗庚曾经说过：“数离开形少直观，形离开数难入微.”利用数形结合的思想可构通代数、几何之间的关系，实现难题巧解.

1.（2016学年杭州市高三检测卷）设P为△ABC所在平面上一点，且满足3PA+4PC=mAB（m>0），若△ABP的面积为8，则△ABC的面积为.

解析 本题主要考查平面向量等知识，意在考查基本计算能力，以及数形结合思想.由3PA+4PC=mAB可得37PA+47PC=m7AB，令PH=37PA+47PC，则H、A、C三点共线，且H在线段AC上，可得PH=m7AB，即有CHAH=34，且PH∥AB，所以C到直线AB的距离等于P到直线AB的距离的74倍，故S△ABC=74S△ABP=14.

图1

事实上，本题可采取如下特殊图形解决，不妨令P为原点，A（1，0），C（0，1），则PH=3PA+4PC=（3，4），由已知得PH∥AB，又S△ABP=8，所以B的纵坐标为16.得△PHD～△ABE，可求得B（13，16）从而，S△ABC=S梯形PCBE-S△PAC-S△ABE=14.

2.（2017届浙江省高考模拟卷）

已知在△ABC中，BC=7，AC=1∠BAC=2π3，若O是△ABC的外心，且6AO=λAB+μAC，则λ+μ=.

解析 本题主要考查平面向量的数量积、余弦定理的应用，考查考生的运算求解能力.由余弦定理得AB=2，所以AB·AC=ABACcos∠BAC=-1.

因为O是△ABC的外心，所以AO·AB=12AB2=2AO·AC=12AC2=12.

因为6AO=λAB+μAC，

所以6AO·AB=12=λAB2+μAB·AC=4λ-μ，

6AO·AC=3=λAB·AC+μAC2=-λ+μ，

解方程组得λ=5，μ=8，∴λ+μ=13，

由于∠BAC=2π3，所以本题可建立坐标系利用坐标法解决.

由余弦定理得AB=2，如图2建坐标系，

则A0，0，C1，0，B-1，3.

因为O是△ABC的外心，所以O是△ABC三边中垂线的交点，因此可设O12，t.由OA=OB得t=536，所以O12，536.

因为6AO=λAB+μAC，所以612，536=λ-1，3+μ1，0，

∴3=-λ+μ，53=λ3.

解得λ=5，μ=8，∴λ+μ=13.

3.（2017届湖州、衢州、丽水三地检测卷）已知O是△ABC的外心，∠C=45°，若OC=mOA+nOB，则m+n的取值范围是（）.

A.-2，2B.-2，1

C.-2，-1

D.1，2

解析 本题主要考查平面向量及其运算，基本不等式等知识，意在考查考生分析问题解决问题的能力.

设△ABC外接圆半径为1，由題意知m，n不能同时为正，

∴m+n<1①.

因为∠C=45°，O是△ABC的外心，所以∠AOB=90°.

∵OC=mOA+nOB，

两边同时平方得1=m2+n2+2mncos∠AOB，

所以m2+n2=1②，

m2+n22≥m+n22③.

由①②③得-2≤m+n<1 ，故选B.图3

事实上考虑到∠C=45°，可如图3建立坐标系，令半径为2，A-1，-1，B1，-1，Cx，y则C在圆x2+y2=2上，且y>-1，即C点在优弧ACB上（不包括端点）.由OC=mOA+nOB得x=-m+n，y=-m-n，

代入x2+y2=2得 m2+n2=1.

由线性规划知-2≤m+n≤2.

又y=-m-n>-1，∴m+n<1.

∴-2≤m+n<1，故正确答案为B.

4.（2017绍兴高三质量调测）向量a，b满足a=4，b·a-b=0，若λa-b的最小值为2，则a·b为（）.

A.0 B.4C.8 D.16

解析 本题主要考查平面向量的模，数量积以及二次函数的最值等知识，以平面向量为载体，借助平面向量的模的最值求解，考查考生的坐标求解能力.

向量a，b满足a=4，b·（a-b）=0，即a·b=b2 ，则λa-b=a2λ2-2λa·b+b2=16λ2-2λa·b+a·b.

当且仅当λ=a·b16时，λa-b有最小值2，所以16a·b162-2a·b16a·b+a·b=4.

所以a·b-82=0，故a·b=8，选C.

事实上，由已知可设a=4，0，由b·（a-b）=0得b⊥a-b.

图4

所以b的终点在如图4以（2，0）为圆心的圆上.令b=x，y，则x2-4x+y2=0，∴λa-b=4λ-x，-y.

λa-b

=x-4λ2+y2

=x-4λ2+4x-x2

=16λ2-8xλ+4x.

因为λa-b最小值为2，所以当且仅当λ=8x2·16=x4时取到最小值2.

代入得16x42-8x·x4+4x=4，

化为x2-4x+4=0，得x=2.

所以a·b=4，0·2，y=8，故选C.

5.（2017届浙江新高考研究联盟考卷）

Rt△ABC中AB=3，AC=4，BC=5，I是△ABC的内心，P是△IBC内部（不含边界）的动点，若AP=λAB+μAC，则λ+μ的取值范围是（）.

A.712，1B.13，1 C.14，712D.14，1

解析 平面向量是具有代数与几何双重特征的量，因此解题过程中既要考虑其代数运算即坐标运算，也要兼顾其几何意义，做到数形结合，优化解题过程.本题主要考查平面向量的线性运算，坐标运算，平面向量基本定理及二元一次不等式组等知识，以平面向量为载体，考查学生的数形结合能力及运算求解能力.如图5建立坐标系，则B3，0，C0，4，I1，1（Rt△内切圆半径r=a+b-c2）.

图5

直线BC：4x+3y-12=0，

直线BI：x+2y-3=0，

直线CI： 3x+y-4=0.

设P（x，y），则4x+3y-12<0，x+2y-3>0，3x+y-4>0.

由x，y=λ3，0+μ0，4 得x=3λ，y=4μ.

代入得12λ+12μ-12<0，3λ+8μ-3>0，9λ+4μ-4>0，

解得712<λ+μ<1，故选A.

6.（浙江宁波高考模拟卷）

已知向量a，b满足b=3，a=2b-a，若a+λb≥3恒成立，则实数λ的取值范围是.（λ≤-3或λ≥13）

解析 平面向量可与函数，解析几何，不等式等知识结合在一起命题，考查考生分析问题解决问题的能力.如图6设CB=b，CA=a，则AB=b-a，由题意可知AC=2AB.

图6建立如图6的坐标系，令B-32，0，C32，0，Ax，y，

则x-322+y2=2x+322+y2，整理得

x+522+y2=4.

又a+λb=x-32，y+λ-3，0=x，y-3λ+32，0，

结合x+522+y2=4的图形可知3λ+32>-12，3λ+32--12≥3，或3λ+32<-92，-92-3λ+32≥3，

解得λ≤-3或λ≥13.

事实上由几何意义更加一目了然，由x+522+y2=4知点A在-52，0为圆心，半径为2的圆上，而a+λb==x，y-3λ+32，0≥3

图7

它表示点x，y与点3λ+32，0的距离最小值为3.

由于点3λ+32，0在x轴上，由于圆内不存在这样的点，所以只需x轴上与D，E的距离最小为3即可，从而3λ+32≤-152或3λ+32≥52.

解得λ≤-3或λ≥13.

7.（浙江新高考考前原创冲刺卷）

已知平面向量a，b，c满足b=3，a=2b-a，a=2，b=1，a·b=-1，且a-c与b-c的夹角为π4，则c的最大值为.

图8

解析 本题主要考查平面向量的数量积、夹角、模、线性运算、两角差的余弦公式，四点共圆的判断等知识，考查考生的运算求解能力.解题时，先求得a、b的夹角，作图分析得O、A、C、B四点共圆，从而判断出当OC为圆的直径时，c最大，再求解AC的长，最后用勾股定理求解OC的长度即可.也可先用余弦定理求得AB长，再用正弦定理ABsin∠AOB=2r=OC，求得结果.

图9

事实上，由已知可得〈a，b〉=135°，可如图9建立

坐标系，令OB=b=（1，0），OA=a=（-1，1）.

由上可知△AOB的外接圆半径的2倍就是c的最大值，根据已知可设

圆心M12，t，由MA=MO，得14+t2=（12+1）2+（t-1）2，解得t=32，∴r=OM=（12）2+（32）2=102，从而cmax=2r=10.

8.（浙江新高考名校联考卷）已知△ABC是边长为6的正三角形，P为△ABC内（含边界）一动点，满足PB·PC=0，又点M满足PM=2MC，则MB·MC的最大值是（）.

A -4B.4 C.-2D.0

解析 本题主要考查向量的线性运算、数量积运算、向量垂直的几何意义，考查数形结合思想、转化与化归的思想，考查考生的运算求解能力.由点P满足PB·PC=0知点P在以BC为直径的圆（△ABC内的圆弧）上运动，由PM=2MC，知MC=-12MP，图10

∴MB·MC=-12MB·MP

=-12MBMPcos∠BMP

=-12MP2

=-1223CP2

=-29PC2≤-2.

正确答案为C.

事实上，由已知可如图10建立坐标系，则B（-3，0），C（3，0），P（3cosθ，3sinθ），θ∈π3，2π3.由 PM=2MC 得M（cosθ+2，sinθ）.

∴MB=-5-cosθ，-sinθ，MC=1-cosθ，-sinθ.

∴MB·MC=（-5-cosθ）1-cosθ+sin2θ=4cosθ-4.

∵θ∈π3，2π3，∴cosθ≤12，从而MB·MC≤4×12-4=-2.

9.（2018浙江高考模擬训练卷）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°.动点P在以C为圆心，1为半径的圆上，且AP=λAB+μAD，则λ+μ的最大值是（）.

A.13 B.12 C.2 D.3

解析 设AC与BD交于点E，则AC⊥BD，且CE=1，圆C与直线BD相切，设AP与BD交于点M，AM=mAP，m>0，则有AM=mλAB+mμAD.因为点M、B、D三点共线，且点A在直线BD外，则有mλ+mμ=1，∴λ+μ=1m.而1m=APAM，过点P作直线BD的平行线交直线AC与于N，则有APAM=ANAE=AN，故只需求AN的最大值.因为圆C与直线BD相切，故当直线PN与⊙C相切时，AN取到最大值，此时AN=3，∴λ+μ的最大值是3，正确答案为D.

图11本题利用坐标法更加通俗易懂，如图11建立坐标系，则A（1，3），B（2，0），C（0，0），D（-1，3）.设P（x，y），则x2+y2=1.又AP=（x-1，y-3），AB=（1，-3），AD=（-2，0），∵AP=λAB+μAD，∴x-1，y-3=（λ，-3λ）+（-2μ，0），∴x-1=λ-2μ，y-3=-3λ，∴x=λ-2μ+1，y=-3λ+3.∴（λ-2μ+1）2+-3λ+3=1，∴4λ2+4μ2-4λμ-4λ-4μ+3=0.令λ+μ=t，则12λ2-12tλ+4t2-4t+3=0.由Δ≥0得t2-4t+3≤0，从而λ+μ的最大值为3.

参考文献：[1]金瑞琪.解答向量问题的三种常用方法[J].语数外学习（高中版上旬），2019（12）：42.

[责任编辑：李 璟]