浅谈“十字交叉相乘法”在初中数学教学中的巧用

罗玉萍

摘要：十字交叉相乘法是一种简单、通用、有效的运算方法。运用十字交叉相乘法可以帮助学生化难为易、提高运算能力;它可以帮助学生快速准确地解决数学问题。它既方便了教师教又方便了学生学，让学生在学习上获得成就感，激发学生兴趣，培养学生学习的自信心，进而提高数学成绩。

关键词：十字交叉;交叉相乘;简单;巧用;有效

正文：十字交叉相乘法是数学运算和资料分析中经常用到的一种重要的解题方法。它在初中数理化乃至高中数理化中都有比较广泛的应用，而在初中阶段的数学教材上，关于分解因式的内容篇幅较少，用十字相乘法进行分解因式的内容在现行的教材中已经找不到。然而，让学生学会使用十字相乘法进行因式分解，在多项式乘法中的巧用（仅限于两项乘两项），解二元一次方程时的巧用，用交点式y=a（x-x1）（x-x2）求函数解析式时的巧用，解二次函数最大利润问题时的巧用，既能开拓学生的思维，也能让学生在解数学题时带来便利。也同样可以使许多数学问题得到简化，在方便教的同时又使学生易学易记。从而，让学生获得学习上的成就感，激发学生兴趣、提高学生学习积极性，培养学生学习的自信心，进而提高数学成绩。

一、“十字交叉相乘法”在多项式乘法中的巧用（仅限于两项乘两项）

当进行多项式乘法（两项相乘）时，可以巧用十字交叉相乘法。使计算快速、简单、准确。

例：计算（x+5）（x+2）

分析：用十字交叉相乘法表示为

因为十字左边相乘得x2（即为二次项），十字右边相乘得10（即为常数项），交叉相乘又相加得7x （即为一次项）。

所以原式= x2+7x+10

练习1：计算（a+3）（a-4）

分析：用十字交叉相乘法表示为

因为十字左边相乘得a2（即为二次项），十字右边相乘得-12（即为常数项），交叉相乘又相加得-a（即为一次项）。

所以原式= a2-a-12

二、“十字交叉相乘法”在记忆平方差和完全平方公式中的巧用。

很多学生，特别是成绩在中下的平方差公式和完全平方公式记不牢，或记不全或混淆，要进行推导时就可以用十字交叉相乘法进行快速的推导。

例如：记忆平方差公式时（a+b）（a-b）

用十字交叉相乘法表示为

得到a2+ab-ab-b2

整理后得到：（a+b）（a-b）= a2 -b2即为平方差公式

记忆完全平方公式（a+b）2         （a-b）2

整理得 a2+ab+ab+b2      整理得a2-ab-ab+b2

=a2+2ab+b2          =a2-2ab+b2

这样学生就轻松的把这三个公式记熟，记牢了。

三、“十字交叉相乘法”在解二元一次方程时的巧用

例如： 解方程 2 x2-x-6=0

分析： 用十字交叉相乘法表示方程左边为

所以左边分解因式得：（2x+3）（x-2）=0

解得  X1=    x2=2

练习1：解方程 x2-5x+6=0

分析：用十字交叉相乘法表示方程左边为

左邊分解因式得：（x-3）（x-2）=0 解得：X1=3   x2=2

四、“十字交叉相乘法”在解二次函数最大利润问题时的巧用。

例题：为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加。某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克。市场调查发现，该产品每天的销售量w（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：w=-2x+80.设这种产品每天的销售利润为y（元）。（1）求y与x之间的函数关系式。 （2）当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ （3）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元？

解：（1）依据题意有y=w（x﹣20）=（x﹣20）（﹣2x+80）

因为（x-20）（-2x+80） 可以用十字交叉相乘法表示为

所以y=-2x2+120x-1600，自变量x的取值范围是20≤x≤40。

（2）∵y=﹣2x2+120x﹣1600=﹣2（x﹣30）2+200，

∴当x=30时，y有最大值200.

故当销售价定为30元/千克时，每天可获最大销售利润200元;

（3）当y=150时，可得方程﹣2x2+120x﹣1600=150，

整理得x2﹣60x+875=0

因为方程的左边x2﹣60x+875用十字交叉相乘法表示为

所以有（x-25）（x-35）=0 解得  X1=25  x2=35

答：略。

以上是我多年来“十字交叉相乘法”在教学中的巧用，愿与各位朋友共同分享，希望能在教育教学中给得到一定的帮助。笔者认为在不影响计算精度的前提下， 既能开拓学生的思维，又能迅速解决两数相乘的复杂性问题，还可以提高计算的效率，从而可以很大程度节约计算时间。使学生易学易记，让学生获得学习上的成就感，大大激发学生的兴趣、提高学生学习积极性，进而提高数学成绩。

参考文献：

[1]多年的教学笔记。

[2]初中七年级到九年级的6册课本。