立足“四基”，回归原点的教学重构

顾彦

[摘  要] 文章以“探索相似三角形的判定（2）”一课为例，立足“四基”，探索基于原点的课堂重构：回归基本知识、回归基本技能、回归基本思想和回归基本活动经验. 利用知识与探索方法的关联展开教学活动，让“数学化”学习过程自然发生;学生经历体验过程，深化了数学思考，明晰了数学本质.？摇

[关键词] 数学教学;立足“四基”;回归原点;课堂重构？摇

2019年11月，笔者有幸参加了全国第二届生长数学教学研讨会，主题为“践行生长数学，提升核心素养”，现场观摩了江苏省评优课一等奖获得者金敏老师的一节课“探索相似三角形的判定（2）”. 笔者受益从中，本文记录了该节课的教学流程，并附个人赏析，以供探讨.

基本情况

1. 授课对象

本节课是对江苏省示范性初中特色班的初三学生. 这个班级的学生从初一开始强化学生用规范的数学语言表达如何解决数学问题的能力，使得学生在“动手实践、自主探索与交流合作”中培养了数学思维能力，因此学生在课堂上语言表达精确、思维开阔，有利于课堂的动态生成.

2. 教材分析

该节课所用教材为《义务教育教科书·数学（苏科版）》九年级下册，教学内容为第六章“图形的相似”的第四节“探索三角形相似的条件”（第2课时）. 之前，学生已经历过探索全等三角形的过程，学习了相似三角形的定义及预定定理，研究相似三角形的判定有助于学生理解图形特征和内涵，也是后续学习相似三角形的性质及应用的基础，同时还为研究“投影与视图”“圆中比例线段”和“三角函数”奠定基础，更是解决中考综合题型的重要工具. 本节课对学生深层理解探索定理的一般策略及构建一以贯之的知识体系具有重要作用.

3. 学情分析

在学习本章之前，学生已经经历了全等三角形的判定定理的探索过程，全等是相似的一种特殊情况，即相似比全等更具有一般性，因此本章的学习是在前面研究图形的全等、平移、旋转、轴对称等变化基础上的拓展与延伸，相似实际上也是一种图形变换. 有一部分学生能灵活转化，类比全等三角形，顺利过渡到相似三角形的判定，而有一部分学生并不理解相似三角形判定定理的内涵，还有一部分学生热衷于利用判定定理做题海战术，对判定定理本身的探索却忽略了，流失了学习内容中自主探索、合作交流、自我提升的宝贵经验. 基于上述教材观念、学生观、教学观，确定了下列教学目标及重难点.

4. 教学目标

（1）使学生经历两个三角形相似判定定理的探索过程，用几何语言准确的描述，会利用判定定理解决一些实际问题.

（2）在类比、猜想、推理、归纳、探究等数学活动中积累经验，理解从边角的角度研究两个三角形相似的判定定理，进一步体会从“具体到抽象”“特殊到一般”等研究问题的基本套路，初步感悟“叠合法”“转化”“归纳”的数学思想方法，发展合情推理和演绎推理的能力.

（3）回顾旧知与新知的关系，使所学知识结构化、系统化，积累探索判定和性质的基本活动经验，发展学生自主构建知识体系的能力，实现可迁移式的学习模式.

5. 教学重难点

教学重点：“两组角对应相等的两个三角形相似”的判定定理的探索发现与证明.

教学难点：机构化、系统化探索一般判定定理乃至研究数学问题的基本策略和基本路径.

教学过程

1. 复习“旧知”，关联“新知”

师：同学们，我们已经学习过相似三角形的哪些判定方法？你能结合图形，用符号来描述吗？（要求学生用数学语言规范表达）

众生：因为∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，且■=■=■，所以△A′B′C′∽△ABC.

师：非常好，对于任何图形的判定，定义是它的本源，也是它的生長之根，在学习了定义后，借助平行线分线段成比例定理，又得到一个判定，是什么？

众生：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.

设计意图  教师引导学生复习、回顾相似三角形的定义及两种判定方法（定义法和平行法），激发学生快速搜索已有的图形研究知识和方法，再追问相似三角形的定义和预备定理的图形特征及数学表达式，激励学生进行学习内容和方法的“类比”以及“迁移”，为学生后续的探索提供知识的起点，也是知识的生长之根.

2. 类比、猜想，启发学生研究“三角形相似的判定”的探索思路

师：前面的知识是我们今天继续探索的起点和新知识生长的本源，同学们想一想，两个三角形究竟满足什么条件才相似？

（1）师生回顾、复习全等三角形的判定方法和探索过程（见图3）.

（2）学生结合全等是特殊的相似（相似比为1），探索如何类比全等三角形的判定定理，展开小组合作、交流谈论，展示研究成果——猜想判定命题（见图4）.

设计意图  数学的学习离不开思维的训练，教师通过启发式和开放式提问，帮助学生指明了研究方向：类比全等三角形的判定过程，为学生的探索提供了理论依据，学生结合全等是特殊的相似，弱化三角形相似的条件，展开独立的思维活动和小组讨论，归纳、猜想出判定相似三角形的四个新命题. 这样的教学设计聚焦学生活动过程的体验的积累，结果是自然生长的成果，并让学生自主提炼与总结学习方法，这才是对学生来说真正能从数学课上带走的东西.

3. 学生独立研究，师生交流，证明三角形相似的判定命题的思路、方法

师：我们以两角分别相等为例，请同学们在学习单上想一想怎么完成证明呢？我们先来弄清问题：

已知：如图1，在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′. 求证：△ABC∽△A′B′C′.

思路1：如图5，在A′B′上截取A′D=AB，在A′C′上截取A′E=AC，连接DE，发现：△A′DE≌△ABC（SAS）. 因为△A′DE∽△A′B′C′，所以△ABC∽△A′B′C′.

思路2：如图5，在A′B′上截取A′D=AB，过D作DE∥B′C′，交A′C′于点E，同样可以证明△A′DE≌△ABC（ASA），所以△ABC∽△A′B′C′.

思路3：如图6，延长BA，C′A′，交于点D，连接CB′. 得到一个更大的△BDC′. 因为∠B=∠B′，所以BD∥A′B′，即△A′B′C′∽△DBC′;同理△ABC∽△DBC′. 根据相似的传递性，所以△ABC∽△A′B′C′.

设计意图  第三部分是本节课最精彩的生成部分，以学生“说”和“做”为主，教师适当讲解，学生通过自主分析定义和预备定理的图形结构，现场生成了三种证明方法，其中前两种方法异曲同工，需要借助预定定理和相似的传递性完成证明;而第三种方法更加开阔，正是由于教师的引导性提问，才有精彩的证明思路：将这两个三角形放到一个更大的图形中，并探讨了两个三角形如果不共线如何解决的问题，最终也利用相似三角形的传递性完成了证明. 这三种方法将“叠合法”发挥得淋漓尽致，令现场的老师叹为观止，掌声热烈. 在教学过程中，教师十分注重对知识结构的整体把握，并善于引导学生自主梳理知识结构、构建新的知识体系. 学生理清了全等与相似的关系，也为后续研究位似的关系和其他几何图形奠定了基础，使学生进一步体会数学的结构美.

定理总结：如果两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形相似.

几何语言：在△ABC和△A′B′C′中，因为∠A=∠A′，∠B=∠B′，所以△ABC∽△A′B′C′.

4. 回顾与展望

（1）回顾：总结三角形相似的判定方法的建构图：

（2）展望：我们还能继续探索相似三角形的什么知识呢？（见图7）

设计意图  师生共同总结三角形相似的判定方法的知识机构图，完成本节课的雕刻式板书，回归数学学习的本源：解决数学问题如此，人生的探索也一样. 教师精心设计的雕刻式板书分为三个区域，左侧是本节课的微观知识结构，中间是相似三角形与全等三角形的宏观知识结构，右侧是学生自主探究的三种证明方法的概要，发挥示范引领作用，顶部是探究判定定理乃至一般数学问题的基本策略. 这样的板书详略得当、结构精美、一气呵成. 这个板书既梳理了本节课的知识与数学思想方法，还关注了知识点、知识块之间的联系，三角形相似的其他判定定理的探索可以说是一脉相承的，为学生后续的探索奠定了基础. 学生带着问题来，又带着新的思考离开. 真正回归了教学原点，让不同的学生在课堂上得到了不同的发展.

课例赏析

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学教学创设的问题情境应有助于学生的自主学习，引导学生通过思考、交流、探索、实践，获得数学的基本知识、基本技能、基本思想、基本活动经验，促使学生主动并富有个性的学习，提高学生分析和解决问题的能力[1]. 本课例立足“四基”，谈谈对回归教学原点的课堂重构的一些想法：

1. 回归基本知识，避免“碎片式”

基于维果斯基的“最近发展区理论”，在教学开始之前，教师引导学生回顾反思之前所学的知识内容，可称之为“温故知新、关联教学基础”. 在预习阶段的重头，教师带领学生深度反思教学内容，明确温故知新的重要性，确保学生能够合理运用旧知识学习新知识. 所以在教学设计中特别强调旧知识与新知识的有效衔接，让新知识的“生成”和“生长”有理有据、有情有理，进而达到关联教学基础的目的. 教师关注的旧知识与新知识的有效链接点就是学生的最近发展区，这也是在帮助学生寻找新知识的源头原点，让他们了解到新知识与旧知识之间的关联性. 在本课例中，教师要将全等三角形知识深度渗透到教学过程中，并复习三角形相似的定义及预备定理，回顾三角形全等的判别方法，然后让学生在类比自主探索过程中获得三角形相似条件的新命题. 在这一教学过程中，教师遵循学生思维生长的规律，回归到概念的本原理解概念. 这种回归原点配合内容前置的教学方法凸显了教学知识的关联性，更能提高课堂的教学效率.

2. 回归基本技能，避免“压缩式”

数学能力是指顺利完成数学活动所必须具备且直接影响其活动效率的一种个性心理特征，数学能力需要在数学活动中形成和发展[2]. 在我国，中学数学基本技能主要包括运算能力、空间想象能力、思维能力以及分析问题和解决问题的能力[3]. 本课例中，需要探讨两个问题：一是学生不明白为什么要研究相似三角形的判定过程，即学了有什么价值. 这就需要教师从整体知识结构上让学生把握研究一般多边形的基本套路. 二是学生不明白怎么去研究. 只是一味沿着教师预设好的路径前行，这种教学方式太缺乏挑战性，不利于创新思维能力的培养. 而本课例中的问题则具有很大的开放性：（1）前面我们学习过三角形相似的什么知识？（2）你能联想到与相似三角形有关的什么知识？（3）你打算怎么研究相似三角形的判定呢？（4）你提出的新的命题具有多少可信度？教师设计的一系列开放性的“问题串”过渡到开放的数学教学，促进学生思考得更深、更合理、更准确，使得学生在“分析问题、解决问题”之前增加了“发现问题、提出问题”，在启发学生提出富有挑战性问题后，激发学生的困惑与思考，在本课证明方法3中充分展现，这种自上而下的问题就够直指思维能力;若当学生思维跟不上时，逐步分解问题块，甚至适当后退，回归学生思维能及之处. 这种教学设计契合新课程标准的理念，强化了数学基本技能.

3. 回归基本思想，避免“告知式”

数学思想是对数学事实与理论概括后的本质认识，而基本数学思想是体现基础数学奠基性、总结性和广泛性的数学思想，初中数学的基本思想主要包括数形结合、分类讨论、转化、类比等[4]. 本课例突出了“类比”的思想方法，在知识的“生成”上下功夫，教材上本节课的内容呈现碎片化、单一化，与教学内容的关联性和整体性不够，本课重整了教学内容. 首先回顾相似三角形与全等三角形的内在关系：从“一般”到“特殊”，再进一步梳理全等三角形判定的知识结构，正是这个知识结构的梳理，为学生类比学习相似三角形的探索过程指明了方向，是学生研究新命题的思维生长点. 紧接着学生通过“类比”自主研究相似三角形判定的新命题，最后教师引导学生再通过“类比”预备定理，结合“叠合法”从多个角度证明命题. 在教学过程中，教师适度引导，启发得当，发挥了学生的创造潜能，加深了学生对数学基本思想的理解.

4. 回归基本活动经验，避免“放映式”

数学的深度学习离不开概念、定理的探索过程. 教师要让学生在探索活动中，积累观察、猜想、分析、类比、归纳、证明等基本活动经验，深化对数学的理解[5] 激活、积累、迁移、升华是基于积累数学基本互动经验的初中数学课堂的基本特征和一般的教学路径. 本课例从全等三角形的基本知识和探索知识的结构出发“激活经驗”，唤醒与激活学生原有的经验，为积累新经验做铺垫;在“经验积累”的基础上自然生成新的问题——到底两个三角形满足什么样的条件才能满足相似呢？在教学中搭建脚手架，引导学生尝试弱化条件拾阶而上;紧接着学生在教师引领和自主探究中通过“经验迁移”“类比”全等三角形判定定理的探索结构，同化和顺应到相似三角形判定的新命题中并证明;最后教师引领学生总结研究定理的一般探索过程，学生在数学活动中的体验和感悟通过“经验升华”为研究数学的思维习惯和一般策略. “激活、积累、迁移、升华”这四个板块紧密相连，活动是经验的教学原点，经验在活动中获得和升华.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制订. 义务教育数学课程标准（2011年版）[S]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]张世相. 初中数学骨干教师基本特征的研究[M]. 长春：东北师范大学，2010.

[3]于水情. 深入研究高考   开辟教学新路[J]. 教学与管理，2004（01）.

[4]夏玉萍. 初中数学课堂教学中数学思想的培养[J]. 理科考试研究，2013（09）.

[5]吕同林. 注重整体关联，促进深度学习——以《探索三角形相似的条件》一课为例[J]. 教育研究与评论，2018（06）.