拉动初中学生数学“学习力” 增长的“三驾马车”

岳绍杰 于彬

[摘  要] 文章以鲁教版“3.3 勾股定理的应用举例（1）”为例，提出拉动初中学生数学“学习力”增长的“三驾马车”（问题情境、追问理答、变式教学）的初步设想，并给出简单的思考：问题情境——引导提出问题，增强学习动力;追问理答——指向深度学习，锻炼学习毅力;变式教学——培养高阶思维，提升数学能力.

[关键词] 勾股定理;问题情境;追问理答;变式教学;学习力

“学习力”特指学习的动力、毅力和能力，其中学习的能力是一种可培养、可预见的能力，我们认为初中学生数学“学习力”，特别是学习能力方面主要表现在能够在深度学习中，提出具有高阶思维含量的数学问题.

“三驾马车”原指拉动经济增长的投资、消费和出口，那么在初中数学课堂中有没有拉动初中学生数学“学习力”增长的“三驾马车”呢？在长期的初中数学教学实践中我们认为“问题情境、追问理答、变式教学”对提高初中数学课堂的教学效益起着至关重要的作用，应该是拉动初中学生数学“学习力”增长的“三驾马车”.

鲁教版“3.3 勾股定理的应用举例（1）”主要涉及勾股定理逆定理和最短路徑问题，课堂教学容量大、知识点难度大，理解起来比较抽象. 在一次市级教研员优质课评比中笔者有幸执教该课，在团队成员的帮助和个人的努力下，主要从“问题情境、追问理答、变式教学”三个方面（“三驾马车”）仔细打磨，认真设计了这节课，最终取得了优异的成绩. 下面进行简单的介绍，不当之处，敬请指正.

教材简析

“3.3 勾股定理的应用举例（1）”是鲁教版初中数学七年级上册第三章“勾股定理”第三节的第一课时，这节课是在学生掌握了勾股定理以及如何判断一个三角形是否是直角三角形（勾股定理逆定理）之后进行的教学内容，主要涉及利用勾股定理解决圆柱或长方体（正方体）中的最短路径问题，以及利用勾股定理逆定理判断一个三角形是否是直角三角形两类问题.

教材中首先呈现最短路径问题，通过四个问题，从“侧面爬”到沿“表面爬”，引导学生在动手实践和操作中获得此类问题的解决方法;然后以实际问题的形式，引导学生在自己首先提出解决问题方法基础上，再利用勾股定理逆定理判断李叔叔方法的合理性，符合新教材的设计理念. 在实际教学中根据学生的实际认知水平，我们对教材进行了整合，将上述两个问题的呈现顺序进行了互换，即先呈现与勾股定理逆定理有关的问题，然后再集中力量解决最短路径问题，这种对教材的整合处理方式，旨在引导学生先从平面内分析和解决问题，再从空间内分析和解决问题，遵循“平面——立体——平面”的认知逻辑关系，使学生能够形成在平面内解决问题的基本方法，同时为学生能将立体图形转化为平面图形提供了可能，顺利实现“化曲为直”，体会转化的数学思想，收到了良好的课堂教学效果.

教学设计简述

1. 创设情境

下图是学校的旗杆示意图，旗杆上的绳子垂到了地面，并余出了一段（如图1）;某同学把绳子拉直后，绳子末端恰好落在地面上（如图2），根据图形，你能提出什么数学问题？

设计意图  用国庆70周年微视频直观震撼，拉近数学和现实生活的距离，激发学生的好奇心和求知欲，让学生充分感受到实际生活问题与数学知识的联系，让学生自己提出数学问题，引起学生的探索欲望，培养学生的爱国主义情怀.

2. 定理再现

定理再现 （1）：（两点之间线段最短）有一个长方形的公园如图3所示，由景点A 到景点C 哪条路径最短呢？最短路径是多少千米？

定理再现（2）：（勾股定理逆定理）如图4，李叔叔想要检测雕塑底座正面的AD边和BC边是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.

①你能替他想办法完成任务吗？

②李叔叔量得AD长是30厘米，AB长是40厘米，BD长是50厘米，AD边垂直于AB边吗？为什么？

③小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？

设计意图  通过提出数学问题引出本节课所需要的基础知识勾股定理以及勾股定理逆定理，通过“定理再现（1）”将“两点之间，线段最短”和勾股定理联系在一起;通过“定理再现（2）”的雕塑情境，使学生感悟体会数形结合的思想. 在问题解决过程中，使学生体会数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，在现实生活中有广泛的应用，培养学生学数学、用数学的意识.

3. 自主探究

活动要求：请同学们拿出已做好的圆柱，在图上（如图5）标出点A、点B的位置，尝试着从点A到点B沿圆柱表面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？请说出你的理由.

（1）自主尝试：学生自己独立思考，能想出几种路线.

（2）交流互助（小组）：在小组内的圆柱模型上画一画，小组内交流.

（3）展示讲解（班内）：小组展示各自的圆柱模型上所画路线，体会展开图中直角三角形的两条直角边与圆柱的底面周长、高之间的联系.

（4）定理应用：在情境上给出相应的数据，应用定理进行计算. 已知圆柱的高是12厘米，底面圆的周长是18厘米，求小虫在圆柱外面爬行的最短路程是多少厘米.

方法提炼（如图6）：（1）展成平面图形（化曲为直）;（2）确定最短路线（两点之间，线段最短）;（3）利用勾股定理求解（建立模型）.

设计意图  借助信息技术平台，将情境利用Flash播放，增加趣味性，调动学生的积极性;在学生经历了自主思考的基础上，进行有效的小组活动，突破本节难点. 在此环节让学生充分体会“化曲为直”的转化思想.

4. 巩固提升

变式训练：有一圆柱形油罐如图7所示，已知油罐的底面圆半径是2米，高是5米，要从A点起环绕油罐建梯子，梯子的顶端正好到达A点的正上方B点，则梯子最少需要多少米？（π≈3）

终极挑战：如图8，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为8厘米、8厘米、12厘米，一只蚂蚁想（沿侧面）从盒底的点A爬到盒顶的点B，最短路径是多少？

设计意图  通过变式训练，让学生进一步体会“化曲为直”的转化思想，培养学生分析问题和解决问题的能力，掌握问题解决的方法途径，在变化中寻求不变，抽取一般规律，体会学科的应用价值.

5.感悟体会

设计意图  留给学生充分的时间和空间，培养学生归纳概括的能力. 教师用思维导图的形式（比如图9）进行总结归纳，帮助学生把零散的知识串起来，帮助学生理解.

6. 布置作业

（1）巩固性作业：略.

（2）拓展性作业：略.

（3）实践性作业：借助勾股定理，利用升旗的绳子，卷尺，请你设计一个方案，测算出旗桿的高度.

课下寄语：把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流 ！——华罗庚; 学好数学，用数学的眼光观察世界，用数学与世界进行对话！——岳绍杰.？摇？摇

设计意图  巩固所学，使课堂向课外延伸. 通过课下寄语，引导学生喜欢数学，体会数学在解决现实生活实际问题中所发挥的重要作用.

几点思考

1. 问题情境：引导提出问题，增强学习动力

好的问题情境，可以引发学生思考，起到事半功倍的效果，因此本节课以建国70周年庆典中升旗仪式的视频引入新课，意在调动学生学习的积极性和主动性，同时厚植学生的爱国情怀. 此外，这个情境贯穿教学的始终，与作业布置环节的实践性作业前后照应，形成了课堂教学的“闭环”，学生很希望可以独立解决这个问题，进而可以很好地增强学生的学习动力.

《义务教育数学课程标准（2011年版）》在重视分析问题和解决问题的基础上，更加重视学生发现问题和提出问题的能力，意在实现“两能”到“四能”的突破. 因此本课在开课之初的“创设情境”中就以“你能提出什么数学问题？”让学生尝试着结合情境自己提出问题，然后解决自己提出的问题. 这样开放性的设问可以增强学生对数学的学习兴趣，特别是解决自己提出的问题后的喜悦，能够进一步增强学生的学习动力.

2. 追问理答：指向深度学习，锻炼学习毅力

追问理答是一线教师教学的基本功，再好的课堂预设在实际教学中都有可能会出现“意外”，面对这样的“意外”，更能看出一个教师的教学机智.

本节课的“自主探究”环节是本节课的重中之重，是本节课教学难点突破的关键环节，此环节的成败决定着本节课的成败，而这个探究环节是一个开放性的探究问题，课堂教学中很可能会出现教师意想不到的情况，因此在教学前我们做了充分的预设（追问与理答），保证了课堂教学中的精彩生成.

比如，在“自主探究”环节的“交流互助”中，引导学生将圆柱沿着母线展开是关键性的一环，此时执教教师并没有直接告诉学生，而是让学生动手实践、自主探究，经历问题发现的全过程，体会到在侧面上画两点之间的路线非常困难. 甚至在学生发现“沿着侧面不好画”的情况下也没有急切地告诉学生解决问题的方法，而是以一句“按照你认为好画的方法来画！”理答学生提出的疑问，进而顺利“逼”出了问题的答案——“展开画”！强化了学生自主学习的意识，实现了深度学习，达到了很好的课堂教学效果.

再比如，在“自主探究”环节的“展示讲解”中，执教教师耐心引领，在学生“卡壳”后，一句近似口语的“再‘围起来看看”，激发了学生进一步的探究热情，让学生在动手操作中实现思考的进一步深入，促进学生的深度思考，锻炼学生的学习毅力.

3. 变式教学：培养高阶思维，提升数学能力

变式教学是中国数学教学的特色，变式教学可以培养高阶思维，提升学生的数学能力，在本课例中有很好的体现.

“定理再现（2）”中的问题③的提出就是问题②的变式，在巩固问题②的解决方法的基础上，引导学生提出更多的解决办法，促进学生的进一步思考，体现数学问题解决方式的多样性.

“自主探究”环节我们将教材中设计的四个问题（从“侧面爬”到沿“表面爬”的“脚手架”问题）改为了“沿圆柱表面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？”以此开阔学生的视野，体现分类讨论的数学思想，使学生的思维更加严密. “巩固提升”中的变式训练是对此题的进一步强化，将解决问题的数学模型进一步完善和丰富，为类似问题的解决奠定坚实的基础. “终极挑战”中的问题由“沿侧面”到“沿表面”进行变式设置，呈现载体由“圆柱”到“立方体”，对学生的思维能力提出了更高的要求，起到了变式教学应有的效果，值得其他一线教师积极践行.

我们通过一节课对拉动初中学生数学“学习力”增长的“问题情境、追问理答、变式教学”（“三驾马车”）进行了简单的介绍，未必准确，更不一定正确，欢迎更多的一线教师参与进来，开发出更多的优秀案例.