基于Radau伪谱法的汽车高速紧急换道避障最优控制策略设计*

张家旭，施正堂，赵 健，朱 冰

（1.吉林大学，汽车仿真与控制国家重点实验室，长春 130022； 2.中国第一汽车集团有限公司智能网联研发院，长春 130011；3.浙江亚太机电股份有限公司智能汽车控制系统研究院，杭州 311200）

前言

目前汽车主动避障系统多是通过制动主动改变汽车纵向运动来避开前方障碍物［1-2］，而高速行驶的汽车遇到前方突然出现的低速运动或静止障碍物时，基于制动的主动避障系统需要较长的制动距离才能避免碰撞事故发生，且易导致后方汽车发生追尾事故。针对基于制动的主动避障系统在高速避障过程中呈现出的不足，通过转向和制动主动改变汽车行驶车道来避开前方障碍物的主动避障系统需要的制动距离更短，避障过程中的汽车纵向速度损失更小。因此，深入研究基于转向和制动的汽车高速紧急换道避障系统对于进一步提高汽车的主动安全性具有重要的意义。

基于转向和制动的汽车高速紧急换道避障系统包括环境感知模块、行为决策模块和轨迹规划与跟踪控制模块，而轨迹规划与跟踪控制模块是汽车高速紧急换道避障系统的核心组成部分，得到了国内外汽车厂商和学者的广泛关注。文献［3］中采用圆弧 直线组合方式规划满足汽车侧向加速度约束的高速紧急换道避障轨迹，并采用β样条曲线对其平滑处理，使最终输出的汽车高速紧急换道避障轨迹曲率连续。随后，以线性2自由度汽车动力学模型为基础，设计汽车高速紧急换道避障自抗扰轨迹跟踪控制器，实现目标轨迹的跟踪控制。文献［4］中将汽车高速紧急换道避障轨迹规划问题转化为七次多项式曲线系数最优化问题，并利用模拟退火算法的全局搜索能力求解该最优化问题，得到满足避障约束和边界条件约束的汽车高速紧急换道避障最优轨迹。为了抑制模型参数摄动和外界干扰对最优轨迹跟踪控制性能的影响，文献［4］中采用强鲁棒性的μ综合方法设计汽车高速紧急换道避障轨迹跟踪控制器。文献［5］中基于斯塔克伯格微分对策理论规划满足避障约束的汽车高速紧急换道避障轨迹，并采用多项式曲线对轨迹进行平滑处理。随后，采用非奇异终端滑模控制理论设计汽车高速紧急换道避障轨迹跟踪控制器，使闭环系统具有时间收敛特性。文献［6］中将汽车高速紧急换道避障轨迹规划问题抽象为人造引力场中搜索最优轨迹问题，并通过求解人造引力场合力来确定汽车高速紧急换道避障轨迹。随后，以线性2自由度汽车动力学模型为基础，采用模型预测控制方法设计满足执行机构性能约束的汽车高速紧急换道避障轨迹跟踪控制器。文献［7］中采用三次多项式曲线描述汽车高速紧急换道避障轨迹的曲率，并且基于汽车运动学模型建立汽车高速紧急换道避障轨迹上的位姿与轨迹曲率之间的关系，通过梯度下降法优化求解三次多项式曲线系数即可得到汽车高速紧急换道避障的最优轨迹。随后，以汽车运动学模型为基础，采用模型预测控制方法设计汽车高速紧急换道避障轨迹跟踪控制器。文献［8］中采用主成分分析法和K均值聚类分析法提取出反映不同风格驾驶人的特征值，并采用该特征值标定五次多项式系数，从而得到满足驾驶舒适性约束和避障约束的汽车高速紧急换道避障轨迹。随后，采用基于预瞄的前馈控制和基于LQR的反馈控制相结合的方式实现目标轨迹的跟踪控制。文献［9］中基于高斯假设提出可表征驾驶行为和汽车动力学特性的汽车高速紧急换道避障轨迹模型，并采用反馈线性化方法设计汽车高速紧急换道轨迹跟踪控制器，对汽车高速紧急换道避障轨迹模型输出的汽车位姿进行跟踪控制。文献［10］中采用sigmoid函数描述汽车高速紧急换道避障轨迹，并利用滚动优化方法实时调整sigmoid函数参数，以使规划的汽车高速紧急换道避障轨迹对动态障碍物具有自适应能力。随后，采用模型预测控制方法设计汽车高速紧急换道避障轨迹跟踪控制器，实现目标轨迹的跟踪控制。上述研究均采用分层式架构设计汽车高速紧急换道避障系统的轨迹规划与跟踪控制模块，即：轨迹规划层采用几何算法、搜索算法和优化算法等规划出满足汽车运动学和动力学约束、边界条件约束的汽车高速紧急换道避障系统的轨迹；轨迹跟踪控制层以汽车运动学和动力学模型为基础，采用鲁棒控制方法设计出汽车高速紧急换道避障系统的轨迹跟踪控制策略，实现对轨迹规划层输出的目标轨迹跟踪控制。由于上述研究在轨迹规划层和轨迹跟踪控制层重复考虑了汽车运动学和动力学特性，极大地增加了汽车高速紧急换道避障系统的轨迹规划与跟踪控制模块设计的复杂性。

鉴于此，本文中采用汽车运动学与动力学模型相结合的方式将汽车高速紧急换道避障系统的轨迹规划与跟踪控制模块设计问题集中表示成汽车高速紧急换道避障最优控制问题，并通过Radau伪谱法将汽车高速紧急换道避障最优控制问题转化为非线性规划问题，通过求解该非线性规划问题得到汽车高速紧急换道避障系统的轨迹规划与跟踪控制模块对汽车制动系统和转向系统的最优控制量，即：目标轮胎纵向滑移率和目标前轮转向角变化率。随后，采用离散滑模变结构控制理论设计对参数摄动和外界干扰具有强鲁棒性的车轮滑移率自适应滑模跟踪控制律，实现目标轮胎纵向滑移率的跟踪控制。最后，基于高精度的车辆动力学软件构建模型在环仿真系统，验证所提控制策略的可行性和有效性。

1 高速紧急换道避障最优控制

1.1 高速紧急换道避障最优控制模型

汽车在高速紧急换道避障过程中处于极限行驶状态，需要采用汽车运动学与动力学模型相结合的方式描述汽车紧急换道避障最优控制问题。汽车模型如图1所示，建立原点固结于初始时刻的汽车质心在地面上投影点的地面坐标系OXYZ和原点固结于汽车质心的车身坐标系BXYZ，汽车运动学和动力学方程［11］可以描述为

式中：x、y和φ分别为汽车质心的纵向坐标、侧向坐标和汽车方位角；vx、vy和γ分别为汽车的纵向速度、侧向速度和横摆角速度；Iz为汽车绕通过质心垂直轴的转动惯量；ax、ay和Mz分别为汽车的纵向加速度、侧向加速度和横摆力矩。

式中：m为整车质量；Lf和Lr分别为汽车质心到前轴和后轴的距离；Tf和Tr分别为1/2前轮轮距和1/2后轮轮距；δf为汽车前轮转向角；Fx1（i=1，…，4）和Fyi（i=1，…，4）分别为车轮平面与地面交线方向及其垂直方向的左前、右前、左后、右后的轮胎纵向力和侧向力。

图1 汽车模型

式中：Fwli和Fwsi分别为车轮前进方向及其垂直方向的左前、右前、左后、右后的轮胎纵向力和侧向力；αi分别为左前、右前、左后、右后的轮胎侧偏角。

基于Burckhardt轮胎模型可将车轮前进方向及其垂直方向的左前、右前、左后、右后的轮胎纵向力和侧向力［12］表示为

式中：kb为修正因子；Fzi分别为左前、右前、左后、右后的车轮垂向载荷；λli和λsi分别为左前、右前、左后、右后的轮胎纵向滑移率和侧向滑移率；μresi和λresi分别为左前、右前、左后、右后的轮胎地面合成附着系数和合成滑移率。

式中ϑ1、ϑ2和ϑ3为针对不同轮胎 地面附着条件的调节因子。

已知制动工况下的轮胎纵向滑移率，其侧向滑移率可表示为

考虑汽车纵向加速度和侧向加速度产生的车轮垂向载荷转移，其左前、右前、左后、右后的车轮垂向载荷可表示为

式中：L和H分别为汽车轴距和汽车质心高度；g为重力加速度。

将汽车质心纵向坐标x、汽车质心侧向坐标y、汽车方位角φ、汽车纵向速度vx、汽车侧向速度vy、汽车横摆角速度γ和汽车前轮转向角δf作为状态变量，将左前、右前、左后、右后的轮胎纵向滑移率λli和汽车前轮转向角变化率ω做控制变量，则基于式（1）～式（14）可建立系统的状态方程：

式中χ和υ分别为系统的状态向量和控制向量，可表示为

假设汽车高速紧急换道避障工况的初始车速为v0，道路宽度为l0，则由系统状态向量在初始时刻t0和终止时刻tf的约束可得到如下边界条件：

考虑汽车制动系统和转向系统性能约束，可得如下路径约束：

式中：λlmax为 制动工况下轮胎地面合成附着系数峰值对应的轮胎纵向滑移率；δfmax和ωmax分别为最大前轮转向角和最大前轮转向角速率。

考虑轮胎摩擦圆约束，可得如下路径约束：

式中：μres，max为 轮胎地面合成附着系数峰值；η为修正因子，本文中取η=0.6。

在汽车高速紧急换道避障过程中，通常要求汽车行驶的纵向距离最小。因此，汽车高速紧急换道避障最优控制模型可以描述为

1.2 高速紧急换道避障最优控制律求解

汽车高速紧急换道避障最优控制问题可通过Radau伪谱法转化为包含一系列代数方程约束的非线性规划问题。首先，采用式（22）归一化汽车高速紧急换道避障过程的时间区间［t0，tf］，即将时间区间［t0，tf］中的任意时刻t变换为 τ∈［-1，+1］。

基于归一化后的时间变量 τ∈［-1，+1］，汽车高速紧急换道避障最优控制问题的状态向量与控制向量可以近似表示为

式中：τN+1=1为结束时刻的末配置点；｛τ1，…，τN｝为Legendre多项式PN-1（τ）+PN（τ）=0的根。

基于式（23）和式（24），将式（21）描述的汽车高速紧急换道避障最优控制模型离散化为

式中Dij为Radau伪谱法的微分矩阵，可表示为

针对式（26）描述的汽车高速紧急换道避障非线性规划问题，采用非线性规划求解器SNOPT进行求解［13］，得到满足状态方程、路径约束和边界条件约束的最优轮胎纵向滑移率和汽车前轮转向角变化率。

2 车轮滑移率自适应滑模跟踪控制

2.1 车轮滑移率跟踪控制模型

制动工况下的车轮滑移率是描述车轮运动过程中滑动成分比重的物理量，主要由车轮角速度和汽车纵向速度决定。因此，本文中忽略轮胎侧偏特性、车轮垂向载荷转移等次要因素，基于1/4汽车模型建立包含车轮角速度动态和汽车纵向速度动态的车轮滑移率跟踪控制模型。

式中：J、r和m1/4分别为车轮转动惯量、车轮有效滚动半径和1/4整车质量和Tb分别为车轮角速度和车轮制动力矩。

制动工况下的车轮滑移率定义为

2.2 车轮滑移率自适应滑模跟踪控制律设计

离散滑模变结构控制理论对参数摄动和外界干扰具有较强的鲁棒性，并且适用于计算机实时控制。因此，离散滑模变结构控制理论在工程领域得到了一系列应用［14-15］。但是，离散滑模变结构控制理论存在固有的“抖振”，影响闭环控制系统的品质。鉴于此，本文中通过自适应调整控制律中符号项的增益系数来降低离散滑模变结构控制理论产生的“抖振”，并得到定理1描述的车轮滑移率自适应滑模跟踪控制律。

定理1 针对式（33）描述的离散系统，设计如下车轮滑移率自适应滑模跟踪控制律：

则闭环系统的平衡原点是渐近稳定的。

由式（42）可知：当S（k）≠0时，ΔV（k）＜0。因此，S（k）=0是全局渐近稳定的平衡面。同时，由式（35）可知，闭环系统的平衡原点是渐近稳定的。

3 仿真结果与分析

本节中采用高精度的车辆动力学软件MSCCar-Sim构建模型在环仿真系统，并通过汽车高速紧急左换道避障仿真工况和汽车高速紧急右换道避障仿真工况验证所提出的汽车高速紧急换道避障最优控制策略的可行性和有效性。仿真过程中，车辆和控制策略参数如表1所示。

3.1 汽车高速紧急左换道避障仿真工况

在汽车高速紧急左换道避障仿真工况中，路面附着系数设置为1，初始车速设置为33.33 m/s，道路宽度设置为3.75 m，仿真结果如图2～图11所示，依次为目标轨迹与实际轨迹、汽车速度与轮速、汽车侧向加速度、汽车横摆角与横摆角速度、汽车前轮转向角、左前车轮滑移率、右前车轮滑移率、左后车轮滑移率、右后车轮滑移率和车轮制动力矩。

表1 车辆和控制策略参数

图2 汽车高速紧急左换道避障仿真结果：目标轨迹与实际轨迹

图3 汽车高速紧急左换道避障仿真结果：汽车速度与轮速

图4 汽车高速紧急左换道避障仿真结果：汽车侧向加速度

图5 汽车高速紧急左换道避障仿真结果：汽车横摆角与横摆角速度

图6 汽车高速紧急左换道避障仿真结果：汽车前轮转向角

由图2～图11可见，车轮滑移率自适应滑模跟踪控制律可快速、稳定地跟踪汽车高速紧急换道避障最优控制策略输出的目标车轮滑移率，为汽车高速紧急换道避障最优控制策略可靠运行奠定了重要基础。仿真结果表明，在汽车高速紧急换道避障最优控制策略输出的目标前轮转向角和车轮滑移率自适应滑模跟踪控制律输出的车轮制动力矩联合作用下，汽车侧向加速度满足预先设定的轮胎摩擦圆约束，并且汽车可以准确、稳定地跟踪汽车高速紧急换道避障最优控制策略规划出的避障轨迹，实现高速紧急换道避障功能。

图7 汽车高速紧急左换道避障仿真结果：左前车轮滑移率

图8 汽车高速紧急左换道避障仿真结果：右前车轮滑移率

图9 汽车高速紧急左换道避障仿真结果：左后车轮滑移率

3.2 汽车高速紧急右换道避障仿真工况

在汽车高速紧急右换道避障仿真工况中，路面附着系数设置为1，初始车速设置为27.78 m/s，道路宽度设置为3.75 m，仿真结果如图12～图21所示，依次为目标轨迹与实际轨迹、汽车速度与轮速、汽车侧向加速度、汽车横摆角与横摆角速度、汽车前轮转向角、左前车轮滑移率、右前车轮滑移率、左后车轮滑移率、右后车轮滑移率和车轮制动力矩。

图10 汽车高速紧急左换道避障仿真结果：右后车轮滑移率

图11 汽车高速紧急左换道避障仿真结果：车轮制动力矩

图12 汽车高速紧急右换道避障仿真结果：目标轨迹与实际轨迹

图13 汽车高速紧急右换道避障仿真结果：汽车速度与轮速

图14 汽车高速紧急右换道避障仿真结果：汽车侧向加速度

图15 汽车高速紧急右换道避障仿真结果：汽车横摆角与横摆角速度

由图12～图21可见，车轮滑移率自适应滑模跟踪控制律可快速、稳定地跟踪汽车高速紧急换道避障最优控制策略输出的目标车轮滑移率。仿真结果表明，在汽车高速紧急换道避障最优控制策略输出的目标前轮转向角和车轮滑移率自适应滑模跟踪控制律输出的车轮制动力矩联合作用下，汽车侧向加速度满足预先设定的轮胎摩擦圆约束，并且汽车可以准确、稳定地跟踪汽车高速紧急换道避障最优控制策略规划出的避障轨迹，实现高速紧急换道避障功能。

图16 汽车高速紧急右换道避障仿真结果：汽车前轮转向角

图17 汽车高速紧急右换道避障仿真结果：左前车轮滑移率

图18 汽车高速紧急右换道避障仿真结果：右前车轮滑移率

图19 汽车高速紧急右换道避障仿真结果：左后车轮滑移率

图20 汽车高速紧急右换道避障仿真结果：右后车轮滑移率

图21 汽车高速紧急右换道避障仿真结果：车轮制动力矩

4 结论

本文中提出了一种基于Radau伪谱法的汽车高速紧急换道避障最优控制策略。利用Radau伪谱法将基于汽车运动学和动力学模型推导出汽车高速紧急换道避障最优控制问题转化为非线性规划问题，通过求解该非线性规划问题得到实现汽车高速紧急换道避障功能所需要的目标轮胎纵向滑移率和目标前轮转向角变化率。采用离散滑模变结构控制理论设计对参数摄动和外界干扰具有强鲁棒性的车轮滑移率自适应滑模跟踪控制律，实现目标轮胎纵向滑移率的跟踪控制。基于高精度的车辆动力学软件构建模型在环仿真系统，验证所提控制策略的可行性和有效性，结果表明：所提控制策略可以快速、准确、稳定地引导汽车完成高速紧急换道避障功能，极大地提高了汽车主动安全性。