基于学生数学认知方式进行教学设计的路径思考

【摘   要】透过学生的认知方式设计和实施课堂教学，可以提高数学教学的效率。而了解学生认知方式的途径主要有三：一是教师要有意识、有准备、有问题地与学生进行交流;二是教师要对学生作业、试卷上所书写内容进行分析;三是教师要有意识地与学生进行“心理换位”。在此基础上，教师可以做出基于学生数学认知方式进行教学设计的科学路径选择。

【关键词】教学;认知方式;小学数学

《现代汉语词典》（第7版）将“方式”一词界定为“说话做事所采取的方法和形式”，由此可以将“认知方式”界定为“学生认识知识时思维活动所采取的方法和形式”。衡量思维质量的有思维品质指标，即敏捷性、灵活性、批判性与独创性等;数学思维的形式常见的有三种，即直觉思维、形象思维与逻辑思维。学生在进行数学思维时，总是喜欢使用自己的训练有素的认知方式进行探究活动，这就要求数学教师透过学生的认知方式设计和实施教学，以提高数学教学的效率。那么，教师如何探究学生的认知方式呢？

一、探究学生关于具体数学教学素材的认知方式途径

一线教师在教学实践活动中通过有计划、有步骤、有意图、有组织、有目的地观察、试验与总结等，可归纳出如下一些途径。

其一，教师要做有心人，通过观察，有意识、有准备、有问题地与学生进行交流，如依据学生在课堂上回答问题或板演等活动，了解不同学生对于同一个数学知识点的认知方式，将其作为教学经验存留于自己的认知结构中。这种教学经验一经形成，将会迁移到以后有关这个知识点的教学中。在课堂交流时，教师还可以让学生对一些独特的想法进行相应的解释，及时获悉学生想法的来源，以了解学生的具体认知方式。

其二，教师要对学生作业、试卷上所书写内容进行分析，以了解学生的认知方式。特别是非常规题，学生往往不能借助现成的数学模型或方法加以解答，而会创造一些新的解题途径，这是考查学生数学认知方式的资源平台;教师自行命题时，也可以有意识、有目的地合理利用数学试题的内容或形式，探查学生的认知方式。教师还需要就试卷上学生的书写内容对其进行访谈，以便深入了解学生在问题解决中的具体认知方式。

其三，教师要有意识地与学生进行“心理换位”，探查学生的认知方式。教师在设计教学时，应设身处地地将自己的心理活动置于学生的立场，模仿学生的思维展开活动环节，探寻与获取知识，以此来揣摩学生在进行数学认知时的心理过程。如此，教师就会深切地体会到学生在学习数学知识时心理上的那种举步维艰的困惑，有针对性地设计出有利于学生学习的教学。[1]

二、探究学生发生具体数学认识的认知方式示例

教师需要依据学生在产生认识时具体的心理活动特点以及在解决问题时所采用的具体的方法与途径，来推测学生所使用的认知方式。由于知识的形式特点不同，学生主体的个性心理特点不同，学生所使用的认知方式也不尽相同。探究发现學生的认知方式需要根据具体问题、具体学生进行具体分析，不可能给出一个万应性的框架。这里，笔者用教学中的一个例子加以说明。

例：一段长若干厘米的绳子，第一次截去20%后，第二次再截去剩下的20%，结果发现，第一次截去的绳长比第二次截去的绳长多2厘米。求原来的绳长。

这是六年级期中考卷中的一道题，学生答题时八仙过海，各显其能，有几种不同的解答方法，下面实录几个同学的典型解法。

同学甲的方法：假设这条绳子的长度为100厘米，第一次截去20%，截去了20厘米，剩下80厘米;第二次截去80厘米的20%，截去16厘米;因此，第一次截去的比第二次截去的多4厘米。而已知条件是第一次截去的比第二次截去的多2厘米，依据比例性质，这条绳子的原长为50厘米。

同学乙的方法：假设这条绳子的长度为x厘米，第一次截去20%，截去了20% x厘米，剩下（1-20%）x厘米;第二次截去（1-20%）x厘米的20%，截去20%（1-20%）x厘米;因此，由第一次截去的比第二次截去的多2厘米知，20%x-20%（1-20%）x=2，20%x-20%x+20%×20%x=2，即0.04x=2，知x=50，即这条绳子原长50厘米。

同学丙的方法：直接在试卷上列出这样一个解答问题的综合算式，2÷20%×20%=50（厘米）（后用①表示这个算式），因此，得到原绳的长为50厘米，没有做任何文字上的解释。[2÷20%×20%应为2÷（20%×20%），编者注]

同学甲与同学乙的数学认知方式本质上是相同的，他们的解题思路是将所要求解的未知数据假设为已知数据（同学甲设其为100厘米，同学乙设其为x厘米），通过过渡性的中间环节，最终成功获得解决。

不过，同学甲与同学乙的解题方法在细节上还是有所区别的，同学甲的假设是一个具体数据（通常使用的是单位“1”），得到第一次截去的比第二次截去的多4厘米的结论，实际是多2厘米，因此按比例得到结论是50厘米;而同学乙直接设绳子的原长为x厘米，将x作为已知参加运算，得到第一次截去的比第二次截去的多20%x-20%（1-20%）x（后用②表示这个算式）的结论，从而列出一元一次方程，解方程得到绳子的原长为50厘米。

同学丙的算式①看上去似乎是一种直觉的结果，在评卷批分时，笔者犹豫不决，是给分还是不给分？或者按照怎样的比例给分？最后决定询问同学丙，请她解释算式①是如何得到的。

同学丙使用图示法进行了相应的解释：设绳子的原长为AB，在图1中，第一次截去20%，截去的长度为CB，剩下的AC等于绳子原长的80%;在图2中，第二次截去的是第一次所剩下的绳子原长的80%，即在AC的基础上再截去20%，即图2中的DC，其长度为绳子原长的80%×20%，剩下的是AD，即绳子原长的80%×80%;比较图2与图3发现，图2中的DC与图3中的CE相等，于是CB比DC长为EB，从而知EB等于绳子原长的20%×20%，同学丙据此列出了算式①，得到了问题的答案。

同学丙的解释，笔者认为是一种直觉思维转化为逻辑思维的过程。她的思维方式偏向于几何直观，这种直观跳过了同学乙的算式②的两个相同的数量20%x互相抵消的过程。

同学甲、乙所使用的认知方式与同学丙所使用的认知方式具有本质上的差异，前者主要使用的是数据分析，通过列综合式，运用运算法展开计算活动。同学丙的认知方式的主要特点是偏于几何图形直观，她凭借图形看出了绳子原长80%的20%（如图2）与绳子原长的20%的80%（如图3）相等，由此观察到了第一次截去的比第二次截去的多绳子原长20%的20%，从而正确地列出了算式，获得了问题的解决。

三、基于学生数学认知方式教学设计的路线选择

由于学生在数学认识或解决问题时的认知方式不尽相同。因此，教师在设计和实施教学时需做好两件事情：其一，平衡学生的认知方式，采用多种认知方式观察客观事物的空间形式、数量关系;其二，按照学生心理发展的阶段性特点，帮助学生建立或者提升有价值的认知方式，如从列综合式解应用题提升为列方程解应用题。

例如，笔者通过分析三位同学所使用的两种典型的认知方式后发现，依据皮亚杰的研究结论，六年级的学生应该处于从“具体运演的第二水平”阶段过渡到“形式运演”阶段，“形式运演的主要特征是他们有能力处理假设而不是单纯地处理实体”[2]。因此，教师在教学设计及其课堂实施中，就需要尽可能地选择同学乙（退一步说，也可以选择同学甲）的认知方式，而不能选择同学丙的认知方式。

这是因为六年级学生的心理发展已经具备了通过假设进行逻辑思维的可能。如果学生不能够、不愿意（如同學丙的情况）使用形式运演，数学教师就有责任、有义务通过教学设计及其课堂实施帮助学生从“具体运演的第二水平”阶段过渡到“形式运演”阶段。因此，教师的教学设计应选择同学乙的认知方式（即采用列方程解应用题），而不应该选择同学丙的认知方式进行课堂教学活动，以此发挥该题的教学价值。

参考文献：

[1]张昆. 整合数学教学设计的取向——基于知识发生的逻辑取向与心理取向的研究[J]. 中国教育学刊，2011（6）.

[2]皮亚杰. 发生认识论原理[M]. 王宪钿，译.胡世襄，校.北京：商务印书馆，1996.

（安徽省淮北师范大学数学科学学院   235000）