3的倍数特征真的不一样吗

苏浙闽 章勤琼

【摘   要】3的倍数特征在表面上看与2，5的倍数特征完全不一样，但在探究3的倍数特征时，如果通过“位值制”对其倍数进行分解重组，就会发现2，3，5的倍数特征是有联系的，都是研究各数位上被某数除之后的余数如何处理的问题。在教学中，教师需注意以下两点：第一，结合多种表征，利用“位值制”原理对数进行重组，从而真正理解数的倍数特征的本质;第二，在数学教学中，需要加强对学生“通法”学习的思考，进行更有效的联系。

【关键词】倍数特征;联系;通法;余数

倍数和因数是小学阶段一个重要的内容，跟很多内容都有关联。如果谈到与此相关的“同余”问题，本质上是以某个数作为除数对自然数进行分类，这个数在“同余”的讨论中一般称为“模”。譬如，如果以2为模，那么所有自然数可以分为奇数和偶数两类。而如果以3为模，所有自然数可以分为三类，1，4，7……可以归为一类，2，5，8……和3，6，9……则是另外两类。如果以n为模，那么所有自然数就可以分为n类。像这样对自然数进行分类并依据分类来探究自然数的性质，是研究自然数的一种重要方法。因此，在小学阶段，一些特殊数的倍数特征是一个值得关注的学习内容，比如2，3，5的倍数特征。

2和5的倍数特征非常明显，只要个位是2和5的倍数即可。在学习3的倍数特征时，学生可能会根据2和5的倍数特征的学习经验进行负迁移，认为“如果一个数的个位上是3的倍数，那么这个数就是3的倍数”。面对学生这样的迷思，多数教师会以引导或者告知的方式让学生把3的倍数圈起来观察规律，如果学生没有反应，教师会继续提示把每个数位上的数字加起来。事实上，根据学生的知识储备来看，他们是不大可能想到要把各个数位上的数相加的，只能在教师的引导甚至告知下得到结论。教材中没有提供“为什么”的说理材料，学生通过观察、举例的方法得出结论，没有经历探究和深刻思考的过程，更多时候只是将其作为一个结果加以记忆和应用。数学教育研究仅限于“如何教”和“如何学”这样的问题是不够的，还应重视“教什么”和“学什么”的研究，特别是“所以然”知识的研究。[1]那么，3的倍数特征真的不一样吗？如何让学生从2，5的倍数特征自然过渡到3的倍数特征呢？或者说，2，3，5等数的倍数特征存在怎样的联系？这需要我们对相关数学概念进行梳理，进而对教学做进一步的思考。

一、2，3，5的倍数特征之间有什么联系

要研究2，3，5的倍数特征，需要涉及“带余除法”和“整除性规律”。任意给定自然数a和d，其中d>0，则存在唯一的自然数q和r，使得a=qd+r且0≤r

不管是2，3，5的倍数特征，还是4，8，9，7，11的倍数特征，看似不一样的倍数特征，实质上都是用“带余除法”，根据位值制写出数的展开式，再根据乘法分配律和加法结合律把展开式进行转化和改写，根据整除性规律而得出结论的。那么，学生该如何学习2，3，5的倍数特征？是否可以将不同数的倍数特征的学习进行联系？

二、学生是怎么学习2，3，5的倍数特征的

学生对2的倍数特征并不陌生，他们早在一年级的时候就认识了单数和双数[4]，还知道个位是0，2，4，6，8的数就是双数，即2的倍数。在二年级学习5的乘法口诀时就渗透了个位是0和5的数是5的倍数，应该说学生掌握2，5的倍数特征是相当容易的。同时教材中有“从百数图中圈出2，5的倍数”的例题，特征很明显。在圈数、观察、举例的学习过程中，学生积累了活动经验，容易得出判断一个数的倍数特征，个位起到了决定性的作用。但是这样的学习，却可能使得学生的理解停留在“看个位来判断一个数的倍数”的认知层面，为3的倍数特征研究带来了负迁移。

我们的课堂教学大多定位在“发现3的倍数特征要看各个数位上的数字之和”这个角度，教师提供研究的材料，让学生经历探究过程。以“在百数图中圈出3的倍数”这一活动材料为例，探究的方式有以下两种：一是圈数、猜想、验证并得出结论。此外还可能对学生做出提示，如果把每个数各个数位上的数字互相调换一下，看还是不是3的倍数，接着让学生猜一猜3的倍数与各个数位上的数的什么有关？学生举例验证。[5]二是圈数、猜想、拨珠并得出结论，在百数图中圈出3的倍数，并在计数器上用珠子表示出这个数，用材料提示学生算出珠子的总个数，学生发现：无论这个数是多少，只要珠子的总个数是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。[6]这种材料的研究类似于用圆片或者点子图在数位表上摆数，如果圆片的总个数是3的倍数，那么无论怎么摆，摆出的数一定是3的倍数。如果圆片的总个数不是3的倍数，那么摆出来的数一定不是3的倍数。[7]学生在活动中虽然改变每个数位上的数，但是总个数始终不变，从而发现：判断一个数是不是3的倍数，不是看每个数位上的数是几，而是应该看各个数位上的数字之和是不是3的倍数。

以上通过简约的材料，不管是互相调换各个数位上的数，还是拨珠子，或者是用圆片（点子图），都是尝试让学生经历“要看各个数位上的数字之和”的学习过程，发现“用各个数位上的数字之和来判断3的倍数特征”这个结论，然而学生通过猜想和推理也只是得出了结论，并没有真正“知其所以然”。教材在后续的练习三中出现了带“*”的思考题（如图1），提出了“只看个位，能否判断出一个数是不是4的倍数”的问题，目的是让学生去探索发现4的倍数要看十位和个位，为更深入地探究倍数的特征打下基础。进而，在教材的“你知道吗？”（如图2）中，出现了利用“位值制”写成数的组成形式，从根本上解释了为什么3的倍数要看各数位上的数字之和，拓展了3，4的倍数特征的知识。[8]事实上，这也可以用来解释其他数字的倍数特征，但在日常教学中，*号题和“你知道吗？”中的内容有很多教师不会重视。

然而，如果能合理运用这个材料，就可以很好地对2，3，5的倍数特征进行联系。把一个数表示成几个十和几个一的形式，就能说明2，5的倍数只要看个位的道理。那么，按照同样的方法，还是用“位值制”把数改写成几个千、几个百、几个十和几个一的形式，也可以得出3的倍数的特征。如果后续研究9，4，8，7，11等数的倍数特征时，也可以通过“位值制”原理对数进行重组表示。这样的“通法”，我们在教学中应该把它们联系起来，用小学生能接受的方式适当渗透。

三、两点教学建议

从上文的分析可以看出，仅仅通过观察、猜想、推理等方法来研究3的倍数特征是不够完整的，为了帮助学生建构完整的知识体系，教师需要把知识联系起来，找到它们之间的共同特点。在教学中，教师可以尝试把能被2，5整除的数的特征与能被3整除的数的特征整合在一节课内进行教学，重新设计例题，力图使学生整体把握整除特征。[9]也可以在学习完2，5，3的倍数特征后，进行梳理，重构一个数的倍数特征的系统。不管采用哪种教学设计，在教学中需要做好以下两点。

第一，结合多种表征，利用“位值制”原理对数进行重组，从而真正理解数的倍数特征的本质。教材中提供了研究的材料，并给出了对数进行重组的方法（如图2），在教学中需要带领学生进一步探究数学的本质，把2，5，3的倍数特征进行联系，归结成一个方法，串成一条线。2，5的倍数取决于个位的原因是整十数一定是2，5的倍数，只要个位上的数是2，5的倍数，那么这个数一定是2，5的倍数。如果用整除性的结论来解释的话，就是如果每一个数位上表示的数都是这个数的倍数，那么它们的和也一定是这个数的倍数。比如：158，百位上的1表示100，100是2的倍数，十位上的5表示的是50，50是2的倍数，个位上的8是2的倍数，那么100+50+8的和就一定是2的倍数。或者换一个角度讲，如果每个数位上表示的数除以2都没有余数，那么这个数就是2的倍数（如图3），5的倍数也可以这样解释（如图4）。

用数形结合的方法，对照各个数位上的数，用圈一圈的方法说明其中的道理，我们发现，学生其实用图能讲得更清楚，这样也为学生提供了清晰的思考倍数特征问题的方法，为3的倍数特征的说理做好铺垫（如图5、图6）。

根据“位值制”原理，将221用展开式来表示： 221=200+20+1 =2×100+2×10+1=2×（99+1）+2×（9+1）+1=2×99+2+2×9+2+1 =（2×99+2×9）+（2+2+1）。对照图5和图6，根据圈一圈的结果，学生直观地看到“2+2+1=5”中每个数位上的数字分别对应的是什么，更好地理解了为什么3的倍数特征需要去看各数位数字之和的道理。

第二，在数学教学中，教师需要加强对学生“通法”学习的思考，进行更有效的联系。譬如，2，3，5的倍数特征，在形式上看起来并不相同，2和5的倍数特征要独自看个位是不是2和5的倍数，而3的倍数特征则需要看各数位上的数字之和是不是3的倍数。但如果探究了倍数特征的本质原因，学生就会发现事实上都是要看各数位上表示的数除以这个数之后的余数。经过这样“看余数”的过程，学生能将它们联系起来，找到判断一个数的整除的“通法”。最后还可以让学生用这种“看余数”的方法去找一找9的倍数特征，4（25）的倍数特征，8（125）的倍数特征。也可以为学生在今后进一步探究7，11等数的倍数特征做好铺垫。

在数学教学中，教师如果能深层次地去挖掘数学知识的联系，有意识地进行“通法”的教学，可以帮助学生在学习中更好地做到有效联系。同时，也应当鼓励学生探究、思考学习数学的“通法”，减轻记忆的负担。

参考文献：

[1] 郜舒竹.小学数学这样教[M].上海：华东师范大学出版社，2016：16-17，141-142.

[2][3][美]伍鸿熙，著.数学家讲解小学数学[M].赵洁，林开亮，译.北京：北京大学出版社，2019：87，380-385.

[4]吴正宪，刘劲苓，刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M].北京：教育科学出版社，2016：129.

[5]章宏俊.数学教学应体现“探索味”[J].教学月刊·小学版（数学），2018（11）：39.

[6] 周慧娟.突破学生探究难点的策略——基于“能被3整除的数”的教学[J].教学月刊·小学版（数学），2020（1-2）：62-63.

[7]人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究中心.义务教育教科书教师教学用书：数学（五年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2016：43.

[8]人民教育出版社课程教材研究所小学数学课程教材研究中心.义务教育教科書：数学（五年级下册）[M].北京：人民教育出版社，2019：11，13.

[9]斯苗儿.小学数学课堂教学案例透视[M].北京：人民教育出版社，2016：347-349.

（浙江省泰顺县实验小学   325500温州大学教师教育学院   325035）