“巧师”有好“材”教学更出彩

韦毅菊

【摘   要】“数与运算”的教学是培养学生运算能力的主要途径，也是学生学习其他数学知识的重要基础。教学中教师可借助合适的教学辅助材料，运用相应的教学策略，来沟通算理和算法的联系，培养学生的运算能力及良好的数感，使教学效果事半功倍。

【关键词】运算教学;辅助材料;策略

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。”这刻画了运算能力的三个主要特征：正确运算、理解算理和方法合理。因此，运算教学的目标不仅是让学生明白怎么算，还要清楚为什么这样算。提高运算教学的“有效性”，教师需要对基本运算技能的标准以及运算技能培养的科学化进行深入分析。

一、人教版和北师大版计算教学编排分析

对学生来说，掌握算法是“基本技能”，技能性的知识可以熟能生巧，但算理的理解卻需要学生对教学内容进行自我深化，这并不是一件容易的事。为了使研究更具一般性，笔者对比了人教版和北师大版教材，从整体框架、单元编排和例题编写三个维度做了统计分析，发现两版教材有关“数的运算”的编写内容大致相同，但也有区别。从而进一步明确了计算教学中辅助材料的类别和使用价值。

（一）整体框架对比

笔者对两版教材有关“数的运算”内容在各个年级中的编排进行了梳理（见表1、表2）。

虽然两版教材对“数的运算”的编排顺序不完全一致，但从整体上看，第一学段运算的内容都明显多于第二学段。第一学段学生的思维是以具体形象思维为主，在运算教学中，教师有必要引导学生通过对具体事物的操作和思考，将技能认知上升到算理认知。因此，合理运用辅助材料，让学生得到具象或者实际意境的思考支撑，克服算理的抽象性带来的理解困难，是教学中值得关注的问题。

（二）单元编排对比

笔者对两版教材中“多位数乘一位数”单元进行了整理和对比。两版教材例题的编排顺序如表3所示。

两版教材例题的数量是一样的，都采用了“2+6”的形式，也就是先口算，再笔算，口算2个例题，笔算6个例题。不同之处在于：人教版教材在多位数乘一位数的口算中只安排了不进位的口算，不仅是例题，在练习中也都只出现不进位的口算;而北师大版教材在口算乘法的例2中安排了2道例题，一道是不进位的，一道是进位的。教材编排上呈现的差异导致教学内容难易程度不同，教学中要关注教材所提供的辅助材料。

（三） 例题对比

两版教材对同一例题的教学辅助材料的编写也是不同的，而且差异较大。以例题“12×3”为例（如图1）。

人教版教材给出的算法较为单一，口算时“10×3”表示3个十，“2×3”表示6个一。而北师大版教材给出的算法和相应的辅助材料更为丰富。首先出现连加算式，接着借助人民币帮助解释算理，得出算式，再呈现用点子图和用格子乘法的计算。

通过对比发现，人教版教材提供的操作材料是1种，算式1种，计算方法也是1种。北师大版教材提供的操作材料有2种，实物材料（人民币）、半抽象材料（点子图），算式有3种，方法也有3种。

按人教版教材的编排，如果课堂上教师没有提供其他多样化的辅助材料，仅让学生通过小棒图弄明白进位乘法的算理是有点困难，所以教材在口算乘法中并没有编排进位乘法。而北师大版教材由于有丰富的辅助材料和算法基础，学生在学完12×3之后再算18×4，就感觉比较容易，特别是用点子图和格子乘法辅助教学，使得学生明白其算理和算法与不进位的乘法是完全一致的。

（四）辅助材料对比

笔者将两版教材“多位数乘一位数”单元中具有前后联系意义的口算与笔算的辅助材料进行整理（如图2）。

虽然两版教材的教学辅助材料具有较大的差异，但同一版本教材前后的教学辅助材料都是相对统一的。很明显，教材都注重将口算和笔算的算理及算法进行沟通和联系。人教版教材呈现的辅助材料“少而精”，它在口算乘法里给出的小棒图，其实是指向竖式计算的，用它来解释竖式的算理是最好不过的。其他的算法都是通过小精灵的问题“你是怎样算的”去引导学生关注不同的算法。相比之下，北师大版教材强调算法的多样性，注重学生个性化的体验，引导学生把未知的知识转化成已知的知识，在例题中逐步展现算法优化的过程，培养学生的创新意识。

由于教学辅助材料是学生借以认知算理和算法的重要载体，所以教师在教学中应注重教学辅助材料的选用，从而帮助学生更好地理解算理、掌握算法。

二、选用辅助材料的教学建议

教材中的教学辅助材料在一定程度上影响着教师的教学方式。如果教师在课堂上只注重教学教材中有的内容，而对没有明确要求的内容就不涉及，那么教学就缺乏灵活性，所以教师在使用教材时需要对教材中的辅助材料进行适当的补充、调整和整合。

为了更好地发掘辅助材料的功能，明确不同材料的数学表征，笔者将几种常见的辅助材料进行了整理（见表4）。

不同的辅助材料在表征数的时候，给学生的直观感受是不同的。例如，同样表示“10”，实物图表征的是“10个一”;计数器表征的是“1个十”;小棒的表征处于两者之间，既可以表征“10个一”（散的），又可以表征“1个十”（一捆）。因为各种材料间具有差异性，所以教师在课堂上提供的材料会影响学生的生成。

（一）利用辅助材料激发学生积极思维

学生的思维容易被直观呈现的事物所影响。通常情况下，开放性的教学辅助材料更能激发学生思维的火花，使得课堂绽放精彩。以下是“多位数乘一位数（不进位）笔算乘法”的两个教学片段。

【教学片段1】

课件出示小棒图（如图3）。

师：我们还可以借助小棒来解释口算的方法。你能在小棒图中圈一圈表示出自己的算法吗？

生：我把小棒图分成两个部分，其中一部分有3捆，每捆是10根，就是30根;另一部分是3行，每行2根，也就是6根。最后把它们相加得36根。

【教学片段2】

课件出示点子图（如图4）。

师：你能在点子图上圈一圈、算一算，然后说一说你是怎么计算12×3的吗？

生A（出示作品）：我是这样想的，因为每行有12个，所以我就把它圈起来了，圈了3个12，12+12+12=36。

师：哦，他是把乘法转化成了连加，很好！

生B（出示作品）：先把点子图分为两部分，第一部分每行有10个，共3行，3个10 是30，第二部分是3个2，也就是6，然后30与6合起来是36。

生C（出示作品）：我是6个6个圈的，圈了6个6，算式是6×6=36。

师：他把12×3转化成我们之前学过的表内乘法来计算，不简单！

师：你们发现这三位同学的方法有什么相同的地方？

生：都是把12×3转化成以前学过的算式来计算。

生：都是把这些点分成几个部分来计算。

师：用哪种方法圈起来快，算起来也快呢？

生：第二种，分出几个十口算很快。

教师呈现的材料不同，学生的思维方式也不一样。片段1中的小棒图已经具有“10个一是1个十”的表征，所以学生很自然地想到先算“1捆1捆的”，再算“1个1个的”，直接指向笔算的算理。而片段2中的点子图只表征了计数单位“个”，学生的算法就相对多样化，生B 的作品反映出学生对计数单位有一定的感知，教师在此基础上加以引导有利于学生对笔算算理的理解。显然，片段2的设计者在注重笔算算理理解的同时也追求算法多样化，给了学生思考和尝试的机会，这对学生创造性思维的发展是有利的。

（二）利用辅助材料实现教学的结构化

教学的结构化是指教师从整体上分析数学知识结构、教材编写结构、学生认知结构等，设计具有条理化和系统化的教学辅助材料，使得教学具有整体性。

例如，分析人教版教材一年级上册和下册的教学内容，发现一年级上册“20以内的进位加法”的算理主要是“凑十”，一年级下册“20以内的退位减法”的算理主要是“破十”，两个单元的内容虽然不在同一册，但是有密切的联系。教师根据教学目标和辅助材料的特征，从整体上设计两个单元起始课的教学。以下是“20以内的退位减法”教学片段。

【教学片段3】

师：刚才我们分别用小棒和计数器计算了15-6，它们有什么相同的地方？

生：都是把1个十拆开来，变成10个一再计算。

生：都是个位不够减的。

师：是的，像15-6这样个位上不够减，需要从十位上“退一作十”来计算，这样的减法叫作退位减法。（板书课题）

师：上学期我们还学过一种加法，叫什么加法？

生：进位加法。

教师出示对比图（如图6）。

师：请你观察思考，上学期学过的进位加法和今天学的退位减法有什么关系？

生：我发现计算进位加法时，小棒是10根一捆扎起来的，计算退位减法时是把一捆小棒拆开来的。

生：计算9+6时进到十位上的1颗珠子，在计算15-6的时候又被退回来了。

生：我看到计數器上加法是把两部分合起来，减法是从原来的那部分中去掉一些。

生：我知道了，加法加多了要“满十进一”，所以叫进位加法，减法不够减要“退一作十”，所以是退位减法。

教学片段3中，半抽象化的小棒和抽象化位值表征的计数器的呈现，帮助学生弄明白两种辅助材料之间的联系，关注到不同材料在呈现计算过程中的相同点，发现其中的算理。通过明晰进位加与退位减之间的联系，学生能更好地建构自己的知识结构，提高学习兴趣。

（三）利用辅助材料建立直观与抽象的联系

计算教学中，动手操作是直观的，算理和算法是抽象的，教师在教学中要善于建立直观与抽象之间的有效链接。在四则运算中，除法相比其他三种运算来说，是学生学习时最感困难的一种运算。除了算理复杂，除法竖式的书写对学生来说也比较抽象，因为在一道除法竖式书写的过程中包含了除、乘、减三种运算，每一步运算都有其意义，除法竖式是除法算理最简洁的表征方式。那么，教师该如何引导学生建构抽象的除法算理与直观的竖式书写之间的联系呢？以下是“笔算除法”教学片段。

【教学片段4】

在“笔算除法”的教学中，教师可以设计以下流程：（1）呈现场景，提出问题：有19个苹果，每6个装一盘，可以装几盘？（2）直观操作，有序描述计算操作过程;（3）结合图形，尝试用连减竖式记录操作过程;（4）竖式变形，便于记录商和余数;（5）压缩求简，呈现现行的标准样式（参见图7）。

连减竖式的介入，还原了除法竖式的原始算法，学生体会到除法与减法的密切关系。通过辅助材料的介入，学生很容易理解笔算竖式中“分层书写”是为了记录试算的过程，商写在竖式上方是因为竖式下方要记录余数，计算时要用乘法计算分掉的总数是为了记录的简洁。这样的笔算教学可避免学生被动地“模仿”，借助直观材料将竖式这一表征方式进行了建构，让抽象的算法有理有据。

教师要在算理与具体的算法中架起桥梁，在学生的思维和具体表征的辅助材料中建立联系，使学生能够在探索算法的过程中直观地感悟数学计算的道理。

参考文献：

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（浙江省湖州市爱山小学教育集团常溪小学   313000）