归谬法在中学数学解题中的几种常见应用

李星洁

(盐城生物工程高等职业技术学校 本科管理部，江苏 盐城 224051)

归谬法又称反证法，是数学解题中一种常用且重要的证明方法。法国著名数学家阿达玛(Hadamard)对归谬法的实质进行过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾。”[1—2]归谬的本质是从结论的反面入手，进行一系列推导，得到反面结论的错误，从而确定结论的正确性。归谬法在中学数学的解题中有着特殊的作用，理解并掌握这种方法对中学数学的教与学都有重要的意义。

一、归谬法的数理逻辑基础

从数理逻辑的角度来看，归谬法是自然推理系统中构造证明的一种方法。自然推理系统一般包含字母表、合式公式以及若干推理规则，关于自然推理系统的具体定义和内容可参考文献[3]。在一个自然推理系统中，我们可以从任意给定的前提出发，应用此系统中的推理规则进行推理演算，得到的最后命题公式是推理的结论。在自然推理系统中，构造形式结构为(A1∧A2∧…∧Ak)→B的推理，其证明的形式一般为：

前提：A1，A2,…,Ak,

结论：B

而所谓证明，就是指从前提A1,A2,…,Ak出发，然后利用推理规则得到结论B的这样一个过程。在自然推理系统中构造证明的常用方法有：直接证明法、附加前提证明法和归谬法。本文主要论述归谬法也就是反证法，这里我们给出归谬法证明形式：在形式结构为(A1∧A2∧…∧Ak)→B的推理中，前提为A1,A2,…,Ak，结论为B，将B作为前提，如果A1∧A2∧…∧Ak∧B是一个矛盾式，那么(A1∧A2∧…∧Ak)→B一定是一个重言式，也就是说从前提A1,A2,…,Ak得到结论B是正确的推理。

值得注意的是，在归谬过程中得到矛盾的逻辑依据是命题逻辑中的基本等值式“矛盾律”和“排中律”，其中“矛盾律”是指A∧A⟺0，由于已知前提以及公理、定理、法则或者已被证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假；再根据“排中律”A∨A⟺1，结论与“否定的结论”不能同时为假，必有一真，因此原结论必为真。所以归谬法是以命题逻辑的基本等值式为依据的，是可行且可信的。

二、归谬法的一般步骤及应用实例

在中学数学教学中，特别是在数学高考题的解题教学中有许多问题是可以使用归谬法来解决的，不过由于许多学生还没有经历过严格的数理逻辑训练，没有掌握归谬法严谨的形式和方法，往往想不到或者不会正确使用这种方法，这就需要我们在教学过程中适时地渗透归谬法的思想方法，引导学生逐步学会这种方法。首先在数理逻辑的理论基础上，在教学中可以将归谬法的一般步骤概括如下：(1)结论的否定：假设原命题结论为假，即假设命题结论的反面为真。(2)矛盾的导出：将否定的结论作为条件，与已知条件一起，经过正确的逻辑推理，得到互相矛盾的结果。(3)结论的肯定：由导出的矛盾断定假设不成立，从而得出原命题结论是正确的。

综上所述，归谬法的一般步骤为：结论的否定⟹矛盾的导出⟹结论的肯定。

归谬法在数学解题中的重要性是毋庸置疑的。代数、几何、方程中许多典型的问题都可以利用归谬法进行证明。通过例1来说明归谬法在代数问题中的应用。

分析：根据上述归纳的归谬法一般步骤，给出本题证明的主要过程。

下面通过命题“两底角平分线相等的三角形是等腰三角形”的证明来介绍归谬法在几何问题中的应用。上述命题的逆命题“等腰三角形两底角的平分线相等”早在两千多年前欧几里得的《几何原本》中就已作为定理出现，但直到1840年莱默斯(C.L.Lehmus)在给斯图姆(C.Sturm)的信中提出后，该问题才引起较多的关注。莱默斯想得到该问题的一个纯几何的证明，斯图姆未能解决，但他向许多数学家提到该问题。首先回答的是瑞士几何学家斯坦纳(J.Steiner)，后来该定理就以斯坦纳—莱默斯命名并闻名于世。

例2 (斯坦纳—莱默斯定理) 在△ABC中BD，CE分别是三角形两内角∠ABC和∠ACB的角平分线，若BD=CE,则AB=AC。

分析：根据归谬法的一般步骤，我们回顾斯坦纳原证法的证明过程。

第一步：结论的否定。假设AB≠AC，不妨设AB>AC。

第二步：矛盾的导出。由AB>AC可知∠BEC>∠BDC。在△BCE和△CBD中，由BD=CE,∠BCE>∠CBD可知BE>CD。作平行四边形BDCF，连接EF，由BE>CD=BF可知∠1<∠2，由CE=BD=CF可知∠3=∠4，因此∠BEC<∠BFC=∠BDC，这与∠BEC>∠BDC矛盾。

第三步：结论的肯定。第一步的假设不成立，即AB=AC。

寻求该定理的不同证明方法在历史上曾风靡一时，时至今日已经有了至少80多种证明方法。值得一提的是其中有不少方法，包括斯坦纳的原证法，都是建立在归谬法基础之上的。

例3：系数均为奇数的一元二次方程无整数根。

该问题可以具体化为已知方程ax2+bx+c=0，若a，b，c都是奇数，则该方程无整数根。

分析：根据归谬法的一般步骤，我们简述证明过程如下。

第一步：结论的否定。假设该方程有整数根，则设x0为方程的一个整数根。

第二步：矛盾的导出。对x0的奇偶性进行分类讨论。若x0是奇数，则ax02+bx0+c为奇数；若x0是偶数,则ax02+bx0为偶数，故ax02+bx0+c仍为奇数。因此，无论在何种情形下，均与ax02+bx0+c=0矛盾。

第三步：结论的肯定。第一步的假设不成立，即方程无整数根。

以上我们归纳了归谬法使用的一般步骤，并通过代数、几何、方程中的实例进行了用法分析，从中可见，归谬法的使用范围广泛、效果显著。

三、归谬法在中学数学解题中的几种常见应用

在中学数学的解题中，当所证明的命题为以下五种形式时，我们便可以考虑使用归谬法进行证明。这五种形式的命题是：否定性命题、限定性命题、无穷性命题、全称肯定性命题以及不等量命题。

1. 归谬法在否定性命题中的应用

结论本身是否定形式的命题称为否定性命题，通常是结论中出现“没有…”“不能…”“不是…”等形式的命题，比如前文中的例3“系数均为奇数的一元二次方程无整数根”就是这种否定性的命题。此类命题，直接证明往往是困难的，而从命题的否定入手，将“否定的结论”作为条件之一，证明往往容易取得突破。下面通过一个简单但经典的例子来看一看归谬法在否定性命题中的应用。

本例非常特殊之处在于题目中并没有出现显性的条件，导致直接的证明是困难的，因此使用归谬法。在证明过程中，巧妙利用了有理数的定义和奇偶性导出了矛盾。

2. 归谬法在限定性命题中的应用

结论中含有“唯一”“至多”“至少”“不可能同时…”“最多”等词语的命题称为限定性命题。在限定性命题证明的过程中，往往可以考虑取消对结论的限定，而后再导出矛盾。

经由(1)(2)两式和(2)(3)两式分别可得如下(4)(5)两式：

再由(4)(5)两式可得-2<2<2，其中2<2是一个矛盾式，因此假设不成立。

3. 归谬法在无穷性命题中的应用

结论中含有“无限”“无穷”等词语的命题称为无穷性命题。很显然“无限”和“无穷”的否定是“有限”和“有穷”，因此在证明无穷性命题时，常常使用归谬法。

例6：证明素数有无穷多个。

证明：假设素数只有有限多个，设为n个，记为p1,p2,…,pn。考虑p=p1p2Lpn+1,则p不能被p1,p2,…,pn中的任何一个整除。 因此p为素数或者p有p1,p2,…,pn之外的素因子，无论哪种情况，都说明素数的个数不是有限多个,所以假设错误，素数有无穷多个。

注:以上证明素数有无穷多个的方法称为“欧几里得法”，这一结论的证明还有其他许多方法，如利用排列组合知识的“数数法”“抽象代数法”“拓扑法”等，然而利用归谬法的“欧几里得法”显然是最简单明了的证明方法。

4. 归谬法在全称肯定性命题中的应用

结论以“……一定……”或“……全是……”等形式出现的命题称为全称肯定性命题，此类证明中可采用反证法。

因为x1≥0，所以xn+1≥1，这与xi(i=1,2,…,n,n+1)均为小于1的非负实数的条件矛盾。

5. 归谬法在不等量命题中的应用

不等量命题通常所证明的结论以不等式等形式出现，在直接证明比较困难时可考虑使用归谬法。

例8:设f(x)是定义在自然数集上的一个函数,满足对任意x，都有f(x)为自然数且f(x)+f(x+2)≤2f(x+1)。记d(x)=f(x+1)-f(x)。证明对任意x，都有d(x+1)≤d(x)且d(x)≥0。

证明:由题设知，对任意x，f(x)+f(x+2)≤2f(x+1) ，从而f(x+2)-f(x+1)≤f(x+1)-f(x)，于是对任意x，都有d(x+1)≤d(x)。

假设存在某个自然数k使得d(k)<0，则由题设任意x，都有f(x)为自然数，得d(k)≤-1。又由于对任意x，有d(x+1)≤d(x)，所以对任意自然数n，有-1≥d(k)≥d(k+1)≥…≥d(k+n)≥…，

从而d(k+n)+d(k+n-1)+…+d(k)≤(n+1)d(k)≤-(n+1)，

又因为d(k+n)+d(k+n-1)+…+d(k)=f(k+n+1)-f(k)，

所以f(k+n+1)-f(k)≤-(n+1)。取n=f(k)，

从而f(k+f(k)+1)≤-1。这与f(k+f(k)+1)是自然数矛盾，命题得证。

归谬法作为中学数学解题的一种重要方法，理解并掌握该方法不仅可以在解题过程中达到事半功倍的效果，还可以培养学生逆向思维的习惯和能力。关于归谬法有许多相关研究[4—6]，作为中学数学教师一定要加强这方面的学习和研究，并在日常的教学活动中适时地提炼和引导学生掌握好这种方法，提升学生的数学素养。