一道教材习题的研究与应用

2020-08-10左效平翟立英

中学生数理化·七年级数学人教版 2020年4期

关键词：纵坐标坐标轴横坐标

左效平翟立英

研究教材的习题，有利于我们更好地掌握知识.

在人教版数学教科书七年级下册第71页有如下题目：

在平面直角坐标系中选择一些横、纵坐标满足下列条件的点，标出它们的位置，看看它们在第几象限或哪条坐标轴上：

（1）点P（x，y）的坐标满足xy>0;

（2）点P（x，y）的坐标满足xy<0;

（3）点P（x，y）的坐标满足xy=0.

选择的意义：

首先，让同学们挑选自己喜欢的数字，为同学们提供了一次体验“我的地盘，我做主”的机会.但是，选择不是盲目的，随意性的，必须使选择满足给定的条件，这样的选择才是有效的选择，这样的选择才是有意义的选择.其次，选择时要尽量全面，对于数的选择就要从正数、负数、零三个角度进行全面的选择，确保接下来的解答更全面、更规范、更科学.

位置的意义：

广义的位置：用横坐标、纵坐标确定一个点，确定的是这个点所在的位置.因此，在坐标平面中，确定一个点的位置必须确定点的横坐标和纵坐标.

狭义的位置：建立平面直角坐标系后，整个坐标平面被两条坐标轴分成四个独立的区域，为了描述得简洁、具体、确切，从右上方的区域开始，把它们按照逆时针的方向依次命名为：

第一象限、第二象限、第三象限、第四象限.

這样，平面直角坐标系中的每个点都有其固定的位置.

解法直播：

（1）因为点P（x，y）的坐标满足xy>0，所以可取x=1，y=1，也可取x=-1，y=-1.

仔细观察点的位置，不难发现，坐标满足xy>0的点P在第一象限或第三象限.

（2）因为点P（x，y）的坐标满足xy<0，所以可取x=1，y=-1，也可取x=-1，y=1.

不难发现，坐标满足xy<0的点P在第二象限或第四象限.

（3）因为点P（x，y）的坐标满足xy=0，所以可取x=1，y=0，也可取x=0，y=1，也可取x=O，y=0.

不难发现，坐标满足xy=0的点P在x轴或），轴上，

解后反思：

确定点的坐标的过程就是确定点的位置的过程，换句话说，确定点的坐标是确定位置的基础，只要坐标确定了，点的位置就确定了.

一、象限型问题

1.根据坐标定象限.

例1在平面直角坐标系中，点A（8，-6）位于（

）.

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

解析：因为点A的坐标为（8，-6），符号特征为（+，一），所以点A位于第四象限，所以选D.

点评：四个象限的符号特征分别是：第一象限（+，+），第二象限（一，+），第三象限（一，一），第四象限（+，一）.记住各象限内点的坐标的符号特征是解决问题的关键.

2.根据象限定坐标，

例2（2019年济宁）已知点P（x，y）位于第四象限，并且x≤y+4（x，y为整数），写出一个符合上述条件的点P的坐标

解析：因为点P（x，y）位于第四象限，所以x>0，y<0.因为x≤y+4（x，y为整数），所以x是正整数，y是负整数.当x=1时，1≤y+4，此时y的值可以是-1或-2或-3，所以点P的坐标为（1，一1）或（1，-2）或（1，-3）.当x=2时，2≤y+4，此时y的值可以是一1，一2，所以点P的坐标为（2，一1）或（2，-2）.

点评：解答时，要处理好如下几点：

（1）根据点所在的象限，确定坐标的符号特征：

（2）根据坐标的属性，分类确定特殊值;

（3）选择时，务必要满足给定的条件;

（4）这是一个开放型问题，答案不唯一，只要合理即可.

二、坐标轴型问题

例3 （2019年甘肃）若点P（m+2，2m-4）在x轴上，则点P的坐标是（

）.

A.（4，0）

B.（O，4）

C.（-4，0）

D.（O，-4）