“实数”章节统领课教学研究

江苏省南京市六合区励志学校(211500) 骆开良

2011 版《数学课程标准》中指出:课程内容要反映社会的需要、数学的特点,要符合学生的认知规律.它不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法.平时的教学通常是一个点一个点的教,学生对数学知识体系的认识普遍“碎片化”.为了培养学生对数学内部联系性的认识,提高整体意识与数学素养,本文以苏科版教材的“实数”章节统领课为例,阐述教学设计与思考.

1 课题分析

1.1 内容和内容解析

1.1.1 内容

算术平方根、平方根、立方根的定义、性质与之间的关联,实数分类与大致研究内容.

1.1.2 内容解析

本节课是章节统领课,要从整体上理解概念、性质的形成与之间的联系,并实现知识与方法的领悟、迁移与生长.先从解决实际问题过程中出现与平方互逆的新的运算(开平方)自然的引入到算术平方根、平方根概念的学习.然后,通过问题引导学生自主探究性质,并归纳数学新知识学习的一般思路:概念→表示方法→性质→应用.它们都是本章重要的概念,对后继学习“二次根式”有着重要影响.再然后,放手让学生类比平方根的学习路径,自主探究立方根的概念、表示方法与性质.再通过前面出现的新数字引入无理数与实数,由回顾有理数的学习内容,畅想在实数范围内将要学习的内容和研究的大致思路,深切体会前后知识的整体性.

所以本节课的重点是:从整体上认识算术平方根、平方根的概念、性质及联系.

1.2 目标和目标解析

1.2.1 目标

(1)经历算术平方根、平方根的概念与性质的生成过程,理解平方与开平方这两种运算的关系;

(2)自主探究立方根相关内容,感悟类比的思想方法;

1.2.2 目标解析

达成目标(1)的标志是:能够正确的用符号表达一个数的平方根与算术平方根;

达成目标(2)的标志是:能够类比平方根的学习过程,描述立方根的概念,正确的表示一个数的立方根,并准确的说出立方根的性质.

1.3 教学问题诊断分析

学生在七年级上学期学习过有理数的概念和运算,并初步了解了无理数的概念.另外,通过本章之前的“数与代数”的相关章节的学习,学生具备了初步的抽象与归纳能力,这些都是本章学习的基础.

所以本节课的难点是:平方根与算术平方根的准确表达与性质探究.

2 教学设计

2.1 形成概念

问题1学校要举行美术作品比赛,小骆想裁出一块面积为25dm2的正方形画布,画上自己的得意之作参加比赛,这块正方形画布的边长应取多少?

(1)若正方形的面积如下,请填表:

面积a(dm2)1 9 16 36 4 25边长x(dm)

(2)若两个数a、x,满足x2=a,请填表:

a 1 9 16 36 4 25 x

师生活动学生思考,完成解答,教师追问如下问题:

(1)正方形的面积为2,边长怎么表示?如果面积为a呢?

(2)平方与开平方、算术平方根与平方根之间有什么关系?

(3)每位同学为同桌出两道与今天学习内容相关的问题,请同桌解答.

(4)练习:4 的平方是( ),4 的平方根是( ),4 的算术平方根是( ),4 开平方是( ).

设计意图通过实际问题中的运算,体会平方与开平方的互逆的运算关系,并体会算术平方根概念的产生过程.再由实际问题转化成数字问题,体会平方根概念的产生过程的同时,感受算术平方根与平方根之间的联系与区别.通过系列的追问,明确表示方法,明晰之间关系,内化新学内容,培养提问意识.并通过适量训练,巩固核心概念,强化学习重点,厘清易错点.

2.2 理解关系

问题2数a是否有平方根?请说明理由.

师生活动独立思考,并在学习单上表达出来.小组交流、展示、补充.如果学生有困难,教师可以引导学生通过举例进行说明,再引导归纳总结.

设计意图通过这种“大问题”的方式“逼迫”学生自己寻找探究路径.学生可以通过举例、分类等方法,逐步探索并归纳出平方根的性质.学生经历了从一般到特殊,再从特殊到一般的过程,充分体验结论的产生与补充完善的学习探究过程.通过充分的小组合作活动与适度的引导,从而有效的化解教学难点.

2.3 自主探究

问题3二次方根研究后,你认为后面还会研究什么内容?

师生活动学生可能会说研究三次方根、四次方根……也可能会说研究二次方根的加、减、乘、除运算与实际应用等,都给予肯定.然后,引导学生参照平方根的学习过程自主探究“三次方根”的概念、表示方法与性质.学生思考、交流,确定思路以后,自主在学习单上书写自己的想法,然后展示交流、补充完善.

设计意图首先通过对平方根的概念、表示、性质等学习过程的回顾,让学生领悟数学概念学习的一般过程、方法.再体会用类比的方法自主建构新知的过程,感悟知识间密切的联系,体验探究的方法与乐趣.

2.4 构建思路

问题4你认为是一个什么样的数?

师生活动通过对是否为整数或分数的辨别,初步判定是无理数.再引导无理数和有理数都是现实生活中确实存在的,所以归类为实数.最后通过对有理数学习过程的回顾,尝试构建实数需要学习的内容.

设计意图从学生已有的经验出发,寻找学生的最近发展区与生长点,引导学生自主构建,再次认识无理数.并从整体上大致的了解后面将要学习的主要内容与研究这些内容的基本方法.

2.5 课堂小结

通过本节课的学习,有什么收获?

师生活动:思考交流后指名回答、补充.教师关注学生对本章学习的整体认识情况与思想方法领悟程度.

2.6 布置作业

(2)查阅资料:第一次数学危机;

设计意图了解学生对本章知识的整体把握与学习方法的领悟程度.课后练习第1 题是基于二次方根、三次方根探究的延伸,进一步考查学生的抽象与归纳能力.第2 题是要求通过查阅资料,感悟数学文化的力量.第3 题进一步培养学生自主学习的能力与深度思考的意识,以及代数推理能力,有一定的难度,故为选做.

3 目标检测设计

3.1 如果x2=5,那么x 叫做5 的( ),记作( );

设计意图检测学生对本章的核心概念——平方根的理解与表示方法的掌握情况.

3.2 探究“四次方根”的概念、表示方法与性质.

设计意图检测对平方根性质探究方法的掌握程度,进一步考查学生归纳与抽象的能力.

4 教学思考

通过章统领课激发学习兴趣.学生对新事物总是好奇的,通过学生熟悉的问题入手,一步步引出新的认知上的冲突,从而牵出新知识,让学生学的轻松又感到合乎情理.学生的兴趣不只是在内容与过程的趣味性,让学生学的会、理的清、想的明,体验到学习成功的快乐,才是激发兴趣的“终极法宝”.如本节课开始通过由正方形的面积求边长,再去掉单位,转化为求一个数的平方等于已知数的时候,很多学生凭直觉只想到了一个答案,就产生了较强的印象,从而引出算术平方根与平方根,同时体会平方的逆运算——开平方的过程.随后引导讨论它们之间的关系,及时辨析与理解,学生通过问题的引导,激发思维碰撞,自主把概念及其关系梳理的明明白白.激发兴趣,还要做到能让学生自主探究的就充分放手.如让学生出题,让学生自主探究“三次方根”的概念、表示与性质等,提供展示机会,让学生收获满满的成就感,兴趣自然由心而生.

通过章统领课构建知识结构.新知识不是“从天而降”,通常是在已有知识上发生、发展而来,是原有认知结构上的自然再生.如几个新概念的产生,由熟悉的实际背景与数学知识引入,让学生感到既新奇又不陌生.理清概念后,从表示方法到性质探究,都尽量让学生自主探究,自主建构.另外,章统领课的一个重要任务是让学生从整体上认识本章的研究脉络.如“二次方根研究后,你认为后面还会研究什么内容?”再如“通过对有理数学习过程的回顾,尝试构建实数需要学习的内容”,这些问题看似与考试无关,但通过这些问题,引导梳理各个学习内容之间的联系,形成对本章,甚至是相关内容的体系化的认识.协助学生自主建构一个完整的知识结构,既利于知识的牢固掌握,也能让学生感悟到数学原来不难,数学很好玩.

通过章统领课掌握学习方法.学生学习的视角往往比较单一,通常就问题解决问题.本章的内容究竟该怎么系统且有深度的学?是章统领课的主要任务之一,需要教师做明确的指导.如:问到“数a是否有平方根?”时,有学生无从下手,教师就要及时追问:数a可能是什么数?举例说明.然后指导研究所举的具体数字的平方根的情况,再思考问题如何回答.引导学生经历从一般到特殊,再到一般的学习过程,从而领悟探究这类问题的一般方法.再如,学完二次方根后及时追问:我们是怎么研究二次方根的?学生很容易总结出:先下定义,然后给出符号表示,最后探究性质.随后直接放手让学生展开想象,自主探究三次方根,让他(她)们独立经历给新概念下定义,合理的给出符号表示,有序的探究与表达性质的完整的学习思考过程.有前面经验的积累,现学现用,问题虽有挑战性,但不难解决.这种前后一致、逻辑连贯的学习过程的构建,有助于实现在掌握数学知识的过程中学会思考、领悟方法.

通过章统领课渗透数学思想.数学思想是解决问题的根本方法.章统领课中进行数学思想的渗透,对促成学生学会学习与思维能力发展意义重大.数学思想通常是隐形的,需要根据学生的思维发展水平与认知规律,以问题引导,在解决问题的学习过程中感悟、领会.如:在实际生活背景中,结合平方运算抽象出新概念算术平方根,给出表示方法,然后很自然的通过数的范围的扩展类比出平方根的概念、表示方法,都蕴含着数学思想的渗透.从二次方根到三次方根,再到作业中“自主探究的性质”,都是类比思想的再现与巩固.再如:探究“数a是否有平方根?”时,引导经历举例、归纳等学习过程,包括问题4 中提出“通过对有理数学习过程的回顾,尝试构建实数需要学习的内容”都是转化、分类思想的渗透.不断研读教材,领悟编者意图,挖掘学习内容背后的数学思想,才能站在一定的高度真正提升学生的思维能力水平,数学的核心素养才能落地生根.

总之,上好章节统领课意义重大.因为章节统领课为的是带领学生跳出教材,站在高处,从整体的视角俯视全章;为的是促进学生理解数学,领悟方法,用联系的眼光一以贯之;为的是引导学生深度参与,完善结构,以发展的思维自然生长.让学生感到数学有趣、好学,真正体会到数学特有的味道与魅力.