加强四个理解,促进深度学习*——从四个理解的角度看“随机事件的概率”(第一课时)的教学

四川大学附属中学(610061) 周祝光 罗文力

课堂教学设计要求教师从学科角度理清教科书内容的脉络及深浅,如内容的主旨、结构,内容的地位作用、产生背景,内容的课程标准、深广度等;从教育角度发掘教材中的教育因素,如发掘知识背后所隐含的思想方法、情感态度价值观等,要做到这一点,没有理解到学科的意义、价值是办不到的.“理解学生,教在心灵”要求教师从学习动机、学习兴趣、学习责任感、学习态度等方面,对学生进行学习心理分析;从显性知识基础、缄默知识基础、学科能力基础、历届学生问题等方面,进行综合分析;从课堂时间、空间、物质条件并结合上述分析,初步拟定探究问题中的学生活动方式,包括学生的身体活动、思维活动及其交往活动方式.理解教学要求教师对探究问题教学形态和实质有深刻的理解,对促进学生深度体验的教学策略应用娴熟.理解技术要求教师对现代信息技术和传统的教学技术选用意图清晰.

1 理解数学是促进学生深度学习的前提

理解数学就是要“了解数学知识的背景,准确把握数学概念、定理、法则、公式等的逻辑意义,深刻领悟内容所反映的思想方法,把握知识之间的多元联系,能挖掘数学知识所蕴含的科学方法、理性精神和价值观资源和技术,善于区分核心知识和非核心知识.”“我们要准确把握每块知识产生的背景,在教材中的地位、前后的联系、后续学习的必要性,其中蕴含的数学思想方法有哪些,这些数学思想方法在学习其他知识时是否可以利用、类比推广等”.教师很好的理解数学是我们教好数学的前提,只有理解数学才有可能制定准确的教学目标,否则,就有可能制定出不切实际的教学目标,增加学生的学习负担,打击学生的学习兴趣和积极性,当然效果也只能事倍功半.教师理解了数学,才能有效的促进学生体验学科中和学科间的知识与知识、知识与思想方法、知识与现象和问题的关联,才能有效的促进学生个人与社会、个人与自然、个人与自身的关联.才能促进学生的学习往深度发展.

在自然界与人类的社会活动中会出现各种各样的现象,既有确定性现象,又有随机现象.随机现象在日常生活中随处可见,概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法.

教科书把概率放在统计之后,体现了先统计后概率的思想.现代社会是信息化的社会,人们常常需要收集数据,根据所获得的数据提取有价值的信息,做出合理的决策.统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科,它可以为人们制定决策提供依据.近年来,统计在实际中得到广泛的应用,用数据、图表等说明问题更有说服力、更直观、更容易理解.概率为统计学的发展提供了理论基础.

由于概率统计的应用性强,有利于培养学生的应用意识和动手能力,在数学课程中,加强概率统计的份量成为必然.“课标”设置了“统计与概率”的内容,目的就在于发展数学应用意识,使学生体会数学在实际中的应用价值,同时更全面地培养学生解决问题的能力.

2 理解学生是促进学生深度学习的基础

学生是课堂中的主体,问题的设计一定要从学生的认知水平出发,以学定“问”,充分考虑学生的已有经验、学习基础、思维特点,立足于学生的“最近发展区”,用学生的眼光看数学,学生在理解的基础上,由浅入深,由感性到理性地设计问题,才能真正引导和帮助学生思考问题、分析问题和解决问题,为此,教师可以从不同角度了解、研究、理解学生,关注他们的差异,可通过观察、访谈、作业批改等方法来获取信息,找准问题设计的起点和突破口.教学必须与学生的认知基础相适应,“学生的认知基础”的含义到底是什么?从认知心理学的观点看,“认知基础”主要是指已有的知识经验和反映知识经验组织质量的认知结构.也就是说,除“知识点”外,还包括“知识点”的组织质量,如理解的准确性、相关知识之间联系的丰富性和联系通道的顺畅性等.

在统计一章中,学生已经认识到要研究一些生活中实际问题,我们经常采用收集数据的方法,根据对这个样本的研究去估计总体的情况,而样本中所有数据的频数和样本容量的比值,就是该组数据的频率.从学生的认知规律考虑,统计在概率的前面,教材中增加了大量的统计案例,学生学习中的实践动手机会大量增加,学生经历了提出问题、收集数据、整理分析数据,做出推断与决策的全过程.学生具有这种思维模式和解决问题的方法.学生尽管知道一些简单随机事件的概率,但对于大量重复实验时频率可作为事件发生概率的估计值这一规律是模糊的、不清晰的,需要用手实践,用眼观察,用脑思考逐渐明晰.

3 理解教学是促进学生深度学习的关键

理解教学就是要理解“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程.有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一,学生是数学学习的主体,教师是数学学习的组织者、引导者与合作者.数学教学活动应激发学生兴趣,调动学生积极性,引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯,掌握有效的数学学习方法.”学生获得知识,可以通过接受学习,也可以通过自主探索等方式,但必须建立在自己思考的基础上;学生应用知识并逐步形成技能,离不开自己的实践;学生在获得知识技能的过程中,只有亲身参与教师精心设计的教学活动,才能在知识与技能、过程与方法和情感态度价值观方面得到发展.教师的“引导”作用主要体现在:通过恰当的问题,或者准确、清晰、富有启发性的讲授,引导学生积极思考、求知求真,激发学生的好奇心,教师基于学情的评价营造激励氛围,提升学习动力和认知动力;通过恰当的归纳和示范,使学生理解知识、掌握技能、积累经验,教师基于对学生解决问题环节中活动结果的评价生成新知识,活动过程的评价生成解决问题的新方法,基于对方法内存联系的分析评价生成学科思想方法;能关注学生的差异,用不同层次的问题或教学手段,引导每一个学生都能积极参与学习活动,都能全身心的 泽在学习活动中.在数学课中,教师的评价引导主要体现在认知操作任务进行前的方向性评价引导、认知操作任务中遇到困难时的启发性评价引导和认知操作任务完成后的概括性评价引导.下面结合教学过程的实施谈谈教师对教学理解的深度决定了学生对数学概念、公式、方法、思想体验的深度:

3.1 创设情境,提出问题

3.1.1 创设情境,体会随机事件发生的不确定性

展示生活实例(1):“麦蒂的35 秒奇迹”.展示生活实例(2):杜丽北京奥运再夺金.展示生活实例(3):“石头、剪刀、布”.从学生感兴趣的生活实例引入,一方面是为了激发学生的听课热情,另一方面也是让学生体会学习随机事件及概率的原因和必要性.抓住生活实例中包含数学思维的部分进行提问,引导学生用数学的眼光观察、认识我们生活的世界,对生活中的现象和感性认识进行理性思考.(1)为什么在那个时刻,所有人都紧张的注视着麦蒂和他投出的篮球?你能确定神奇的麦蒂在即将开始的NBA 比赛中的下一个三分球投进了吗?(2)为什么射击比赛中每一枪都如此扣人心弦呢?(3)“石头、剪刀、布”的游戏方式,能够预先确定甲和乙谁获胜吗?让学生从生活体验中归纳共性,其中包含了综合、概括、比较等分析过程,这是形成概念的有效途径.因此在这一阶段通过创设情境唤起学生的兴趣,使他们身处现实情境中,为后续的思维活动建立起感性认识基础.

3.1.2 归纳共性,形成随机事件的概念

有了前面的基础,此时学生能够有效的概括、抽取上述生活体验的共性.在数学上研究事件时,主要关注在相应的条件下,事件是否发生,因此提出问题:从结果能够预知的角度看,以上事件的共同点是什么?提问时明确思考的角度,让学生的思维直指概念的本质,避免不必要的发散.以上这些事件都是可能发生也可能不发生的事件.那么在自己的身边,还能找到此类的事件吗?有没有不属于此类的事件呢?学生通过以上思考,发现事件可以分为以下三类:必然事件、不可能事件、随机事件.这样在形成概念之前,学生通过主动的思考,在自己身边举例,这样巩固了学生对随机事件的思维基础;通过对比,学生明确事件分类的标准和概念之间的差异.

3.1.3 深入情境,体验随机事件的规律性

教师引导性评价:我们看到,随机事件在生活中是广泛存在的,时刻影响着我们的生活.正因为体育比赛中充满了随机事件,而让比赛更加刺激、精彩,让观众更加紧张投入;因为每天的校园生活充满了随机事件,而让我们走入校门的时候内心涌动着好奇与兴奋;因为人生道路上充满了随机事件,而让我们每个人的人生各有各的不同,各有各的精彩.我们生活在一个充满了随机事件的世界当中.同时,我们身边也有一些意外是随机事件,那我们是不是因此而时刻都充满着恐慌呢?实现自己的目标这也是个随机事件,我们是不是就因此而放弃了今天的努力了呢?

这个环节的教学首先要表现随机事件带给人们丰富多彩的生活,体现教师对数学、对概率的喜爱和热情,传递给学生学习数学的积极态度.其次,这个环节的教学既是对前面内容的总结,也引出了下面研究思考的方向,起到承上启下的作用,同时也就揭示了人们认识随机事件的过程,以及随机事件随机性和规律性之间的联系.第三,要通过反问,使学生意识到,生活的不断体验已经使我们积累了一些对随机事件规律性的感性认识,那么接下来就是要挖掘出这些感性认识下面的理性依据,以这种方式激发学生对生活经验的反思和探究,同时帮助学生形成正确的世界观.

(1)提出问题,引发思考:①既然三分球的命中都有随机性,为什么不是姚明来投最后这个三分球?②既然每个人参加奥运会获得金牌都是随机事件,为什么派杜丽来参加奥运会射击比赛?③为什么石头剪刀布对双方是公平的?

(2)再次抽取共性,形成抽象概念:

师生从同学们的回答中,可以体验到,事件发生的可能性有大小之分,是可以比较的,从而抽象出可以用数量表示事件发生的可能性的大小,这就是概率的意义.

(3)用概率的语言回答前面的问题.

3.1.4 从生活经验中体验可以用(大量重复)试验的方法来估计概率

基于初中的学习,有些学生具备了用试验频率来估计概率的经验.但对于“为什么可以这样做”,缺乏思考,导致在分析问题、分析数据时会出现偏差.因此从学生熟悉的命中率入手,首先说明这种方法来源于生活经验,为接下来的探讨做准备.

“麦蒂投出三分球命中”和“姚明投出三分球命中”都是随机事件,并且都难以用理论推导得出准确的概率,那么生活中“麦蒂投三分球命中的概率高于姚明”的经验是如何得到的呢?其实是用三分球命中率来估计概率,那么三分球命中率是如何计算的呢?

本届奥运会篮球赛场上,在中国战胜安哥拉的比赛中,孙悦一共投了2 次三分球,并且都命中了,于是说估计他三分球命中的概率大致为100%是否科学?显然是不科学的,因为概率大致为100%意味着孙悦投三分球基本上都是命中的,这显然与实际情况不相符合.分析总结得到:可以用大量重复试验的频率来估计事件的概率.

提出核心问题:做投针试验,分析针与平行线相交频率与概率的关系.

3.2 解决问题

教师的评价引导方向:层层深入,形成概率的统计定义

计算事件的概率、估计事件的概率是数学中很重要的一个内容,对此,有哪些具体方法呢?

该环节的教学分为3 个层次:

3.2.1 通过数学实验,观察各组频率是否体现出规律性

这一数学实验的结论不易直接推导,这说明了进行试验的必要性,也更大的调动了学生参与的积极性.学生的亲身体验,更有利于概念的形成,以及对规律的认同.对于各组频率统计表,学生也可以从中观察出一定的规律,但是这一规律尚不能帮助我们估计事件发生的概率,或者说精度不够.在此处实现学生在思考问题时的一个冲突,激发更细致的分析随机事件规律性的主动性.

可以用大量重复试验的频率来估计投三分球命中的概率,那么这种方法是否具有普遍性?方法的理论依据是什么?下面进行数学实验.

[数学实验]在画有等距平行线的纸上,随机的抛掷一枚牙签,研究牙签与平行线有交点的概率.

实验的准备:现在我们能从理论上推导这个概率吗?有什么办法来估计呢?在进行试验的时候应该注意哪些方面呢?

实验的要求:学生两人一组,进行试验,每组试验20 次,注意试验的条件要求:竖直随机上抛,纸张无褶皱.

实验结果的汇总与展示:各组汇报频数,输入到电子表格中,同时自动计算出各组频率并绘制出折线图.

观察得到的数据表格和折线图,能够观察出什么规律,以帮助我们估计出事件发生的概率?

3.2.2 观察累积数据的频率表和折线图,形成概率的统计定义

这一环节是本节内容的难点,需要把对数据、图表的直观印象转化为抽象的概率定义.之所以可以用大量重复试验的频率来估计概率,是因为在数、图中累积数据的频率体现出了一定的“稳定性”,即规律性,使得我们能够从图表中大致判断出事件概率的范围、具体大小.这里首先从多组数据中抽取共性来形成概念,其次注重数与形的相互转化,把图形上的规律用数去描述,把数据上的规律用图形去验证.在教学过程中数表起到了与折线图相同的作用.最后采取一些具体手段来帮助学生发掘、描述规律,如在折线图中绘制一条水平的红线,更为清晰的表现出频率在常数附近摆动的规律.

对于将所有数据累加后计算频率,来估计概率的方法,实际上就出现了累积数据的想法.对比前面对命中率的研究,其实累积数据就相当于大量重复同一试验,与前面的分析具有一致性.

下面就利用电子表格的计算功能,计算出累积各组数据的频率并绘制出折线图,从数或形两个角度观察累积数据的频率是否体现出规律性?

此图表中体现出的规律性是否具有一般性?

3.2.3 计算机投币模拟实验

用几何画板模拟投硬币实验并统计数据:

图1

图2

图1:用条形统计图描述频率的变化情况.

图2:由于实验次数增加,频率值也在不停的变化,根据点的变化描绘出变化的轨迹;

由以上两个数据统计图分析频率的变化情况和变化趋势

介绍历史上名家的投硬币实验:

再对比抛掷硬币出现正面的折线图

以上从数据和图形两方面印证了前面总结的规律性,形成概率的统计定义:在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时就把这个常数叫做事件的概率,记作P(A).

这个是整个课程中最主要的环节,在这个环节中,设计了三个实验.第一个是自己动手实验.“没有实践就没有发言权”,学生能够从自己的亲身经历中理解试验的随机性和稳定性的概率论思想.第二个是数学软件模拟试验,在这个试验中,借助于几何画板,频率的波动性和稳定性能够更直观的表现出来.最后是列出历史上的名家投硬币试验,进一步加深了学生对随机试验的不确定性和大量重复试验下频率的稳定性的理解.三个试验层层递进,环环相扣,使得本节课的主要思想循序渐进地体现出来,有事实为基础,“铁证如山”,能让学生体验到大自然规律的发现和论证过程,可以培养学生发现问题—分析问题—解决问题的的探究能力.

3.3 反思提升

教师引导学生回顾探究过程

3.3.1 概率与频率的关系

(1)随着试验次数的增加,频率会越来越接近概率;(2)频率本身是随机的,在试验前不能确定;(3)概率是一个确定的数,是客观存在的,与每次试验无关;(4)概率是频率的稳定值,而频率是概率的近似值.

3.3.2 概率与频率的关系

思想方法:利用频率(统计规律)估计概率.

3.4 应用反馈

运用概念,加深理解.通过对实例的归纳和辨析对新问题的特性形成陈述性的理解,继而与原有的知识结构相互联系,帮助学生体会随机事件的随机性和规律性是不矛盾的,是辨证统一的,即随机事件在一次试验中体现出随机性,在大量重复试验中体现出规律性.

问题1:双色球问题

理论证明双色球一等奖中奖概率约为1/177221088,是指买177221088 张彩票才能中一个一等奖吗?

问题2:医生和患者的故事

一个病人到医院看病.医生告诉他你这个病挺严重的,不过幸好你到我这里来了,我对这个病的治愈概率有9 成,而且之前有9 个病人都被我治好了.医生还没说完,这个病人撒腿就跑,边跑边说:“我不治了”!请你帮忙分析下这个病人误解在什么地方吗?

4 理解技术是促进学生深度学习的催化剂

纵所周知:技术是进行数学探究与发现的“催化剂”——技术的强大数值运算、代数推理、统计分析、动态几何等功能,使我们能做到“一有想法就试试看”;技术大大扩展了教学中可作为研究事例的范围——例如我们可以选择那些现实发生、包含复杂数据的问题作为研究对象;技术可以代替手工进行冗长而复杂的计算——学生能将注意力集中在数学的概念方面,有更多的时间用于思考而不是“卖苦力”.数学教育技术不只是数学智能工具箱和丰富的课件库,还包括在数学教学中使用技术的理论和策略.数学教师的数学教育技术能力表现在面对不同程度的学生,处理几何、代数、统计概率等不同内容,面对概念教学、命题教学、习题教学等不同课型时,能恰当借助计算机艺术机智地创设有效教学的能力.教师理解了技术,能够催生学生个人身心与真实(虚拟)环境的直接作用,促进学生个人感觉与个人情感的深度融合,促进学生产生丰富的、强烈的、深刻的体验.

《义务教育数学课程标准(2011年版)》中有关重视技术运用的表述:“信息技术的发展对数学教育的价值、目标、内容、以及教学方式产生了很大的影响,数学课程的设计与实施应根据实际情况合理地使用技术,要注意信息技术与课程内容的整合,注意实效”.

计算机在数学教学中的使用会不会导致学生计算和推理能力的下降?数学的学科特点是抽象性,使用计算机呈现的更多是直观的图形,这样是否会削弱学生的抽象思维?其实这涉及到技术的有效使用问题:什么时候用技术?用什么技术?怎样用技术?如何处理直观和抽象,如何处理实验和逻辑,如何处理动手和动脑、人脑和电脑,这在教材、教参中没有现成的答案,我们只能探索.

纵然数字化教学环境给数学教学提供了崭新的舞台,但是在舞台、灯光、布景、音响效果全部都是现代化的前提下,决定戏剧演出效果最主要的依靠应该还是剧本的质量、导演的水平、演员的表演.因此,决定教学质量的关键还在于教师而不是技术.以信息技术与数学教学整合为焦点,追求“必要性”“平衡性”“广泛性”“实践性”“有效性”,服务于数学概念、原理的实质理解,做纸笔所不能做的事,应成为我们一线教师面对技术来袭时的基本共识.