2018年顺德第二次教学质量检测解析几何命题思路及教学建议

广东省佛山市顺德区第一中学(528300) 常 艳

广东省佛山市顺德区教师发展中心(528300) 王常斌

广东省佛山市罗定邦中学(528300) 龙 宇

2018年的高考数学试题有一个显著的特点是文理同题(或相似)的比例大大增加,这是为了对接新一轮的课改不分文理所作的积极探索,为文理合卷做准备.今年的1 卷文理数学的解析几何试题是姊妹题,考察的均为等角问题,只是载体不同而已.文科以抛物线为载体,而理科以椭圆为载体.本次顺德二模命题时在这方面也做了一些探索,文理相同或相近的试题的比例也有所提高.本次解析几何的文理试题也是姊妹题,题目如下:

1 题目

(2018年高考全国卷文19) 已知抛物线C:y2=2px(p＞0) 与直线x=8 相交于M,N两点,O为坐标原点,且ΔMON为直角三角形.

(1)求抛物线C的标准方程;

(2)过C的焦点F且斜率为k的直线l与抛物线C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点D,求证:|AB|=2|DF|;

(理20) 已知椭圆C:的左、右焦点为F1,F2,过点F1(－1,0)斜率为k(k /=0)的直线l与椭圆交于A,B两点,且ΔABF2的周长为8.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;

(Ⅱ)设线段AB的中垂线与x轴交于点D,求证|AB|=4|DF1|.

可以看出两题也是姊妹题,文科以抛物线为载体,理科以椭圆为载体,考查的是过圆锥曲线的焦点弦长与此弦的中垂线之间的关系.考查学生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.

2 解法呈现

两题的第(1) 问都相对简单,答案分别为:y2=8x,过程略.两题的第(2)问是该题的难点,且解法是类似的,本文以文科题为例,将该类问题的相关解法展示如下:

解法一基本量法

设直线l:y=k(x－2),联立抛物线方程得:k2x2－4(k2+2)x+4k2=0.

则有:

利用弦长公式:

线段AB的中点为P(xP,yP),其中

直线PD为:可求得点D为

总结该解法以直线的斜率作为基本量,表示出所求弦长,证明结论成立.结合抛物线的定义,焦点弦长还可用公式x1+x2+p来表示,对应的计算更小.再注意到直线l过定点(2,0),也可设直线l的表达式为x=my+2(即以m作为基本量),m的几何意义为斜率的倒数.

解法二几何法

如图1,过点A,B,P分别作准线l的垂线,垂足为A′,B′,P′.利用梯形的中位线性质可得所以原问题⇔证明|DF|=|PP′|即证明PP′FD是平行四边形⇔P′F⊥AB.

图1

设直线AB:x=my+2,联立抛物线得:y2－8my－16=0.可得点P(4m2+2,4m),则有P′(－2,4m),F(2,0).验证可得:即有P′F⊥AB成立,所以原命题成立.

总结该解法通过几何关系将原来的数量关系转化为直线间的垂直关系,结合简单的计算即可证明该结论,与解法一相比,思维量更大,但运算量小.且该解法还可获得一个附加结论:以PP′为直径的圆恒过定点F.

解法三几何法2

在图1的基础上过点B作AA′的垂线,垂足为E,具体如图2.容易证明ΔABE ～ΔPDF.原问题则⇔证明两三角形的相似比为2⇔证明结合抛物线的定义,|AE|=|AF|－|BF|,利用P为AB的中点,则有:|AF|－|PF|=|BF|+|PF|即有两式相结合即有原命题成立.

图2

总结该解法相比解法二,运算量更小.但对于平面几何的知识要求较高.且该解法没有使用抛物线的方程,据此可得该结论对所有的抛物线均成立.具体如下:

定理1对于抛物线C:y2=2px(p＞0),过C的焦点F且斜率为k的直线l与C交于A,B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点D,则有|AB|=2|DF|.

解法四几何法与基本量法的综合

根据定理1 可知,该结论对一般的抛物线均成立,该解法便以定理1 为背景进行证明.选择基本量:倾斜角θ.如图3,过点A作x轴的垂线,垂足为A1,利用抛物线的定义即可得:

图3

|AF|－|AF|·cosθ=p.即有:同理可得:

|BF|=则有

总结该解法结合了基本量法与几何法的优点,该解法仅涉及到焦点及准线,结合椭圆及双曲线的第二定义,即可将该解法迁移至其他的圆锥曲线.较解法三,该解法还获得焦半径及焦点弦公式.由此可得下面的定理2.

定理2已知椭圆的左右焦点为F1,F2,过点F1的直线l与椭圆交于A,B两点,设线段AB的中垂线与x轴交于点D,则有(e为椭圆的离心率).

分析上述四种解法均可迁移至该定理的证明.本文仅以最后一种解法来证明定理2.

证明如图4,设椭圆C的左准线为过点A分别作l1与x轴的垂线,垂足为A′,A1.利用椭圆的第二定义可得:|AF1|=|AA′|·e,由图可知:|AA′|=|AF1|·cosθ+dF1－l1.

其中

图4

化简可得:

同理可得:

则有

设AB的中点为P,与上文中的解法三相同,

在直角三角形PDF1中,

与上式中的AB值相比可得:结论成立.

对比定理1 与定理2,注意到抛物线的离心率e=1,定理1 中的结论也可改写为:

根据上解法,还可将该定理推广至双曲线,由此我们可得到一个关于抛物线、椭圆、双曲线的一个统一结论.

定理3过圆锥曲线C的焦点F的直线交C于A,B两点,设线段AB的中垂线与曲线C的焦点F所在的对称轴交于点D,则有(e为圆锥曲线的离心率).

3 高考溯源

在历年的高考中,关于焦点弦的考察很多,较为经典的高考题有:

例1(2013年全国2 卷，20 题) 平面直角坐标系xOy中,过椭圆右焦点的直线交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为

(1)求M的方程;(2)C,D为M上的两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.

例2(2016年全国1 卷、20)、设圆x2+y2+2x－15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B做AC的平行线交AD于点E.(1)证明:|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程;(2)设点E的轨迹为C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ面积的取值范围.

例3(2007年重庆理科,22)中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x=12.(1)求椭圆的方程;(2)在椭圆上任取三个不同点P1,P2,P3,使∠P1FP2=∠P2FP3=∠P3FP1,证明:为定值,并求此定值.

总结例1、例2 考察的是焦点弦的相关性质,例3 考察的是焦半径的运算.在文[1]中,笔者从不同的角度探究过例1、例2 的相关解法,其中就包括上文中介绍的焦半径的计算方法.在文[2]中,笔者通过极坐标的形式探究了例3 的一般形态,其本质也是利用了上文中的焦半径的计算方法.

4 教学及备考建议

根据上面的分析可知,本次考试的两道试题难度不大,只要学生基础扎实,均能轻松解决该类问题.而真实情况则是:文科生有近60%的学生(2956 人)得零分,平均分:1.68;理科的平均分为3.12.这也充分暴露了我们在解析几何教学中的问题.

4.1 学生失分的原因

在平时的学习过程中,对该解析几何相关内容有畏惧心理,下意识的觉得困难.在考场上的有限时间里面,对题目的表现形式感觉陌生,更增加了畏惧的心理暗示.对比两道压轴题、学生更愿意选择导数题,因为求导和求定义域的步骤是相对固定的.解析几何的考察方式很多,性质也很多,解法也更多,学生在解题策略上面,也常常将该题放在最后.学生在总的答题过程没有一个全面的规划,在选填部分使用的时间过多,这也导致后面的时间不足.

4.2 教学建议

通过上文的分析,笔者认为,在数学教学中,教师应做到以下几点:

(1)重视学生的基本功训练.比如圆锥曲线中各个参数的几何意义,弦长公式等等.教师在授课的过程中要注重数学的基本概念、原理、方法的传授.特别是在高三的复习阶段,切忌通过题海战术掩盖基础知识的训练.事实上,数学基本知识与基本技能对学生的长远发展具有举足轻重的作用,是数学本质的体现,对学生数学素养的提高具有不可估量作用.

(2)要注重培养学生一题多解、一解多题、一题多变等变式能力的训练,这对学生思维能力的提高具有不可替代的作用,能发散学生的思维,防止思维定势,对学生以后的学习大有裨益.同时,教师要注重典型例题的分析、变式训练.

(3)要重视学生数学思想的培养,在教学中要重视学生数学思想方法的发生、生成、内化、升华过程.解析几何中的解析即是指通过代数的思维解决几何的问题,将几何图形的含义通过算式表达出来,比如上文中提到的基本量法就是解析法的代表,该方法运算量较大,但思维量小.既然有涉及到几何,像椭圆、双曲线、抛物线本身就具有丰富的几何性质,比如上文中提到的几何法,利用三角形相似结合第二定义即可得结论成立.几何法的运算量小,但思维量大,而且几何法往往针对的是特殊位置或特殊的对象.比如本文讨论的焦点弦,如果是讨论的一般弦,很可能解析法更占优.两类方法各有千秋,且体现了不同的思维方式,在复习时应两种方法并重(几何法在选填题型中更占优势).数学思想方法是数学基本功中的“内力”,并非一朝一夕能改变,教师要意识到这是细水长流的过程,不能急功近利,从而让学生在长期的接触与体会中得到升华.

(4)应善于学习,努力提高自己的业务能力,要能站在较高的角度看待和审视问题.要适应新一轮课改“培养学生立德树人的目标,提高学生核心素养”的要求.通过学习,不断提高自身的基本素养与技能,这样才能识别出隐藏在试题背后的核心数学思想与素养,并发掘其中有价值的东西传授给学生,做到“会当凌绝顶,一览众山小”.