有效突破教学难点,培养学生数学核心素养——以人教A版必修5“余弦定理”一课为例

湖南省常德市第六中学(415000) 颜 春

《普通高中数学课程标准(2017年版)》中要求“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向,创设合适的教学情境,启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质.”基于对数学核心素养的理解,笔者认为,数学课堂应让学生在课堂上将所学内容内化为自己的知识结构与能力体系,努力达到通过对一个问题的解决来学会对同一类问题的解决,甚至通过对某一个问题的探究和解决,使学生在多年后的工作学习中还能用到这种思维来思考和解决某些问题,这就是培养学生核心素养所最终追求的意义.教师不仅仅应该局限于当时能让学生解答这个问题,还要能让学生的思维能力得到提升,让学生将学习过程与思维过程内化为自己伴随终身的宝贵经验和关键能力.

下面笔者以“余弦定理”的教学设计为例,谈如何在突破教学难点的过程与基础上培养学生的数学核心素养.笔者所取的“余弦定理”是人教版高中数学教材必修5 第一章“解三角形”中的第一节第3 课时.本节课的难点是通过对三角形的边角关系的探究,证明余弦定理.

1 对教材处理余弦定理证明过程的理解

为了更好的理解教材处理本节课内容的整体性和设计意图,笔者从教材对前两节课正弦定理的处理入手进行分析.正弦定理和余弦定理都是关于三角形中边角关系的重要定理,它们都是解三角形的一个重要工具.教材在推导正弦定理的过程中,先是引导学生通过对直角三角形中这种特殊的边角关系,然后再引导学生在一般的三角形中利用正弦函数的定义根据三角形的高的不同表达式得出了正弦定理,在这个过程中,教材没有直接给出用向量的数量积的方法来证明正弦定理.而在余弦定理的推导过程中,由于用三角函数的定义来证明显得复杂繁琐,但用向量的方法来证明则显得过程简单,而“简单”即是数学所追求的,能体现运算的简便,体现数学的美,所以教材对于余弦定理的证明是直接给出了用向量数量积的方法,即在两边同时平方来实现从向量关系向边角关系的转化,从而得出余弦定理.

基于以上分析,可以看出余弦定理的证明显然是用向量方法来解决几何问题的一个非常好的素材,教材这种处理方式,旨在突出向量工具在几何中的应用,突出向量方法在解决某些几何问题时的优势,是想要让学生逐步学会用向量的方法解决某些数学问题.然而在具体的教学实践中,大多数教师都觉得学生对用向量方法来证明余弦定理感到突然,学生怎样能想到用到向量的方法来证明余弦定理?为什么要在向量关系式的两边同时平方?上述问题便是学生在探究余弦定理的证明过程中必然遇到的思维障碍.面对这些疑虑,很多教师没有认真思考,而是直接搬照教材“照本宣科”式的来讲解余弦定理的证明过程,也不管学生是否会感到突然,是否能听懂,更没有考虑在知识发生、问题解决的过程与基础上如何来培养学生的数学核心素养.还有些老师干脆不用向量的方法证明,就直接用几何的方法通过用三角函数的知识来证明余弦定理,没有突出向量方法这个工具在解决某些几何问题中的优势,这与教材的整体设计有偏差,而且对后续学生用向量方法来解决某些数学问题没有打下一个较好的基础.那么如何在本节课中凸显向量这个工具在解决几何问题中的重要性,如何突破用向量的方法来证明余弦定理这个教学难点,并在突破教学难点的过程与基础上培养学生的核心素养,笔者进行了深入的探索和实践.

2 通过设计恰当的问题,引导学生在突破教学难点的过程与基础上培养学生的核心素养

基于以上对教材的理解和分析,笔者在引导学生用向量工具来解决三角形中的几何问题进行了探索与设计,通过设计恰当的问题引导学生利用向量的方法来证明余弦定理,并在证明余弦定理的过程与基础上进行层层引导与深入探究,培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力等数学素养,促进学生数学核心素养的内化效果.

问题1如图1,在△ABC中,已知边a,b及a与b的夹角C,如何求第三条边c?

图1

教师引导在所学的知识中,有什么公式或者运算能够将问题中的已知条件即两边的长度a,b与它们的夹角C联系起来?

学生向量的数量积,在△ABC中,即:

问题2在问题1 中,怎样将要求的边c所在的向量－→AB用其它向量表示出来?

学生

教师引导要求边c,需要将等式中的向量向数量进行转化,要将上述向量关系式转化为数量关系,可以通过怎样的运算来实现?

学生向量的数量积运算可以将向量向数量进行转化,可以通过在等式两边点乘向量的方法来实现.

教学反思学生在已有的认知结构中,非常熟悉两个向量的数量积运算就是要用到两个向量的长度和它们的夹角,所以很容易想到用数量积的方法将三个已知条件联系起来.同时,学生也知道向量的数量积所得的结果就是一个数量,因此最容易想到用向量的数量积运算来将向量关系式向数量关系式进行转化.通过上述三个问题,教师很自然的引导学生用向量的方法来解决问题,培养了学生从问题的条件和目标出发,挖掘已有知识来分析问题的思维能力.

问题3在等式两边点乘哪个向量?请大家进行探究.

教师引导如何选择在等式两边点乘的向量,能够使所得到的式子中出现问题1 得出的结论

学生学生进行小组合作探究,得出如下结论:

教师总结结论2 即为余弦定理的其中一个公式,同理可以得到另外两个公式,在使用数量积运算的过程中,主要用了两种方式,一种是等式两边点乘相同的向量,一种是两边点乘各自本身,即两边同时平方,两种方式都是点乘了三角形中一些基本的向量.

教学反思通过教师引导学生合作探究,尝试用不同的向量来与等式两边的向量进行数量积运算,将向量等式数量化,由于前面问题1 的铺垫,使得学生通过尝试与探究得出等式两边平方的方法,因为等式右边平方以后,就会后出现角C.通过让学生充分探究点乘需要选择的向量,亲身经历将向量等式转化为数量等式的过程,不仅很自然的得出了余弦定理,还为教材中后面的一道习题得出了结论即三角形中的射影定理.通过上述问题的设计,让学生掌握了余弦定理的证明过程,同时学生还形成了解决一类问题的思维方法,即如何将向量等式转化为数量等式,如何选择需要点乘的向量.这样的系统化、模块化的知识有助于学生思维能力的培养,有助于学生将所学知识内化为自己的认知结构,促进了数学核心素养的内化效果.

为了进一步提升学生运用上述思维方法的解决问题的能力,笔者在此基础上还设计了如下问题:

问题4在问题1 中,如果想要得到两条边与它们所对角之间的关系,即得到a、b及它们所对的角A、B之间的关系,如何用向量的方法来解决?

学生积极讨论,合作探究,在探究的过程中学生思维发散,得出了多种想法,其中主要的的想法就是:要想等式中只有含有边a、b,就要在向量等式中想办法消掉向量可以通过在等式两边点乘一个与垂直的向量.

教师引导点乘哪个向量最方便?

学生学生都说是三角形AB边上的高所在的向量由得到0.

教师引导顺势引导学生总结,引入三角形中的高CD这个基本图形,便于三角形中的有关运算,请大家顺势继续探究得出相应的数量等式.

学生合作探究,如图2,由可得:bcosα+acosβ=0⇒bcosα+asinγ=0⇒－bcos ∠DCA+asinB=0⇒－bsinA+asinB=0.

图2

教师总结指出正弦定理的证明过程还需要对三角形是锐角三角形和直角三角形的情况进行证明,这两种情况相对简单,由学生课后自主完成.接着,教师引导学生总结,前面余弦定理的证明是从“数”的角度入手,而正弦定理的证明则是从“形”的角度来思考,通过引入三角形中的基本图形,从而消掉其中不需要的量,得到问题中要求的量之间的关系式.

教学反思通过教师设置问题,使得学生的思维进行了拓展,让学生认识到可以通过引入三角形中的一些基本量来解决有关问题.在这个过程中,学生通过合作探究,从问题所要求的量出发,通过引入新的基本量,充分利用向量这个工具来解决问题,让学生学会了通过“数”与“形”的途径来思考问题,较好的培养了学生的逻辑推理能力和数学运算能力,让学生体验了成功的喜悦,提升了学生探究数学问题的兴趣,并让学生掌握了三角形中解决几何问题的重要思想方法.而这些正是提升学生数学核心素养的体现.

问题5我们通过引入三角形的高,得出了正弦定理这个结论,那如果我们引入的是三角形的中线,又能得到怎样的结论?

学生学生积极思维,合作讨论,通过探究得到了很多结论,其中还得出了它们熟悉的一个定理:如图3,CM是△ABC中边AB上的中线,由两边同时点乘可得:

图3

学生又一次得出了射影定理.另外还有学生得出了中线CM的长度的求法,即同时,有一些学生还提出了在三角形中引入三条边的中垂线,角平分线等基本图形,教师及时称赞,要求学生课后进行探究,在下次课前进行展示.

教学反思在将三角形的高引入证明正弦定理以后,教师顺势提问,将引入的基本图形延伸至三角形的中线,激发了学生的探究欲望,学生通过一些列的探究,在证明了余弦定理、正弦定理的基础上对运用向量数量积这个工具从“数”和“形”的思维角度来解决三角形中的几何问题的方法进行了拓展,课堂上,学生思维参与积极,很多学生进行了深入的探究,有些学生思维发散,提出了多个问题,通过这些问题的设计,促进了学生思维的广度与深度,学生的主体地位得到了充分的发挥,在培养学生数学运算能力的同时还激发学生自主合作探究数学知识的兴趣.学生自己通过探究得出的结论,印象深刻,思路清晰,容易将所使用的方法内化为自己的知识结构,大大提升了运用向量来解决几何问题的能力,潜移默化的培养了学生的数学核心素养.

总之,面对一堂课的教学重点或教学难点,教师需要在认真解读教材的基础上用心探索,通过设计恰当的问题来进行突破,既要基于学生已有的认知结构和思维习惯让所设计的问题不感到突然,也要能立足教材本意,认真落实本堂课所要落实的数学知识和数学思想方法.上述笔者通过设计一系列的问题,让学生不仅突破了教学难点,而且还掌握了利用向量这个工具来解决某些几何问题的主要方法,达到了通过对一个问题的探究,学会了一类问题的解决,同时这种数学思想方法还将在学生后续的学习甚至多年后的工作学习中发挥作用,真正落实了对学生数学核心素养的培养.