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“演绎推理”在小学数学教学中的重要性

2020-08-06张元生

数学大世界·下旬刊 2020年6期
关键词:平角演绎推理等量

张元生

本学期,我们六年级数学组的课例研究聚焦于 “数学思考”新增的两道例题:例3:“△、□、○、☆、◎各代表一个数。(1)已知△+□=24, △ =□+□+□。求△ 、□的值。(2)已知:○+☆=160,◎+☆=160。○是否等于◎?”例4:“什么是平角?平角与直线有什么区别?(1)每相邻两个角可以组成一个平角,一共能组成几个平角?(2)您能推出∠1=∠3吗?”

从教材编排来看,例3是等量代换的内容,等量代换是指一个量用与它相等的量去代替,是演绎推理的基础。例3中,△ 、□的值是以等量代换为基础逐步推理得出的。例4是一道经典的用演绎推理来进行证明的几何题。这两道例题逐层推进:从“通过演绎推理得到结果——例3(1)”到“通过演绎推理得到结论——例3(2)”,再到“用演绎推理进行几何证明——例4”,这一过程是演绎推理经验逐步积累的过程。按教材编排特点,这两道例题是可以作为一课时内容进行教学的,于是,我们以“数学思考——简单的推理”为课题,开始了磨课活动。

一、一磨——生搬硬套

我们以“依据条件用有逻辑的数学语言表达推理过程”为主要目标,以“初识推理(例3〈1〉)→再识推理(例3〈2〉)→拓展延伸(例4)”为教学思路开始第一次磨课。

没想到,教学中第一环节就出现了问题。当出示例3(1)后,大概3分钟,多数学生都能说出△ 、□的值。指名口答时,学生基本都能说出关键:将“△+□=24”中的△换成“□+□+□”。但当老师要求学生一步一步说清楚自己的想法,并说出每一步的依据时,学生面面相觑,不知所措。于是,老师借助课件,一步一步带领学生推理,并指导每一步推理的依据。之后,例3(2)与例4的教学,学生更是畏畏缩缩,教师只得生搬硬套,勉强完成教学任务,而“依据条件用有逻辑的数学语言表达推理过程”的主要目标没有达成。

为什么会这样?这一课的难点在哪儿?如何才能有所突破呢?我们认为,这一课最大的困难是学生缺乏演绎推理的经验。

要想有所突破,首先,应该要有必要的铺垫,要让学生明白什么是演绎推理的依据,哪些可以作为演绎推理的依据。其次,要让学生知道演绎推理的过程,应是从已知开始,逐步推理出结论的过程。最后是要帮助学生构建推理的模式,借助模式进行有逻辑的数学表达。

二、二磨——越俎代庖

根据大家的建议修改了教学设计后,二磨开始了。课前老师与学生以“仔细地观察,认真地思考,规范、严谨地表述”为主题与学生进行了交流,鼓励学生在本节课能规范、严谨地表述自己的想法,并说明:严谨,就是要说清楚依据,然后以两个小问题导入本课:

1.∠1+ ∠2=?你的依据是什么?

2.如果x+5=22,那么x=?依据是什么?

之后的例2两个小题的教学中,教师在学生交流的基础上,构建了“已知:_,可得:_(依据:_),所以_(依据:_)”的表述模式,并引导学生表述推理过程,教学比较顺利。但当老师出示例4(2)“你能推出∠1=∠3吗?”的问题,放手让学生自主推理时,问题出现了:全班只有几个同学举手,而且也是支支吾吾,表述不清。

应该说,导入环节有一定的铺垫作用,可以唤起学生的知识储备,知道“平角=180°”“等式的性质”等是进行推理的依据(课中说依据时,明显比上一课顺畅),例3教学时的表述模式,也应该能让学生说清楚推理过程。为什么到例4教学环节时,还是这样困难呢?如何才能有进一步突破呢?

我们分析,例3的教学有“越俎代庖”之嫌,教师根据学生的交流进行整理,以课件出示的形式完善表述模式,但这只能让学生初步感知,而无法逐步内化。学生演绎推理的经验积累过程,并不是一个范例可以解决的。我们考虑,“用数学语言严谨地表达”的学习过程,应要让学生经历“示范模式→填空模式→自主推理”的过程;推理的体验过程,应该要让学生经历从最简单模式(已知→结果)到稍复杂模式(已知→过渡结论→结论)的过程。只有在这样的过程中,学生不断反思总结,不断积累经验,才能最终“水到渠成”。

三、三磨——水到渠成

教学设计在大家的建议下修改完善,由我执教开始了第三次磨课。

1.起点——学生的最近发展区

师出示右图,问:∠1+∠2=?

生:180°。

师追问:为什么?

生:∠1、∠2可以组成一个平角。

师:那为什么是180°呢?

生:因为平角是180°。

师出示:因为 ∠1和∠2可以组成一个平角,所以∠1+ ∠2=180°(依据:平角=180°)。

师:数学的表达重在严谨规范,当老师提问“∠1+ ∠2=?”时,你能像这样把你的想法说清楚、说完整,你就是最棒的!

师再出示:已知x+5=22,可得x=?

生:已知x+5=22,可得x=17,依据是等式的性质。

教学的切入点应要直击学生的最近发展区。本课“依据条件用有逻辑的数学语言表达推理过程”这一目标实现有较大难度的原因在于学生表达经验的匮乏,那我们就寻找学生最易表达的范例,引领学生走入最近发展区,以此为基础逐步推进,帮助学生逐步积累数学表达的经验。

2.示范——构建数学表达模式

师出示:△、□、○各代表一个数。已知△+□=24, △ =□+□+□。求△ 、□的值。

学生观察、思考、计算。

师:△、□的值各是多少?你是怎么想的?

生:□的值是6,△的值是18。可以把△+□=24中的“△”換成“□+□+□”,求出□=6,那么△=24-6=18。

师:“△”能换成“□+□+□”吗?为什么?

生:可以,因为△ =□+□+□。

师:一个量用与它相等的量去代替,这就是“等量代换”。同学们,你们能规范、严谨地把想法说清楚吗?试试看。

师逐步引导学生说清楚推理过程,并交流每一步推理的依据,最后课件出示:已知:△+□=24,△ =□+ □+ □。

可得:□+ □+ □ +□=24(依据:等量代换),

即:4×□=24(依据:乘法意义),

所以:□=6(依据:等式性质)。

3.填空——模式内化的阶梯

师再出示:□=6,那么△=?

生齐说:△=18。

师课件出示:已知:_,可得:_(依据:_),所以:_(依据:_)。

师:你能借助这个模式把你的想法说清楚吗?

生1:已知□=6,△+□=24,可得……

生2:已知□=6,△=□+ □+ □,可得……

教师在教学中,对于“□=6,那么△=?”的问题往往一带而过,但我认为这应是学生演绎推理经验积累的一大契机。首先,同一题目中由完整模式的示范到填空模式的尝试的过程,是学生将模式逐步内化的必要过程,是学生演绎推理的必要过渡。其次,选择不同的已知条件:“□=6,△+□=24” “□=6,△=□+ □+ □”推导出相同的结果:△=18。可以让学生初步感知演绎推理的方法多样性,为例4推理的方法多样性埋下伏笔。

4.回想——推理模式建构、方法掌握的催化剂

师出示:○、☆、◎各代表一个数。已知:○+☆=160, ◎+☆=160。那么:○ 是否等于◎?

学生观察思考后交流。

生1:因为“○=160-☆,◎=160-☆”,所以“○=◎”。

生2:因为“○+☆=◎+☆”,所以“○=◎”。

师:回想一下我们之前的表述过程,你们能将他们的想法规范、严谨地表述出来吗?

生互相交流后反馈。师以“已知:_, 可得:_(依据:_),所以:_,(依据:_)”的模式板书。

教师引导学生对比两种推理方法。

5.自主——推理方法的巩固与拓展

出示右图。

师:你知道哪些角的和是180°吗?请规范、严谨地回答。

生:因为∠1和 ∠2组成一个平角,所以∠1+ ∠2=180°,依据是平角=180°……

师根据学生口答,逐步出示:∠1+ ∠2=180°,∠2+ ∠3=180°,∠3+∠4=180°,∠4+ ∠1=180°。

師:以这些为已知条件,你能推出∠1=∠3吗?请将推理过程完整地写在作业纸上。

师借助展台展示学生推理过程。

……

演绎推理在小学阶段以例题形式出现,可看出编者重视小学与初中数学教学的延续性,有意识地渗透初中内容,为学生未来的数学学习作必要的准备和铺垫。我们一线教师应该要思考编写意图,把教学重心放在对演绎推理这一方法的感悟和体验,从而积累演绎推理的初步经验。

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