“演绎推理”在小学数学教学中的重要性

张元生

本学期，我们六年级数学组的课例研究聚焦于 “数学思考”新增的两道例题：例3：“△、□、○、☆、◎各代表一个数。（1）已知△+□=24， △ =□+□+□。求△ 、□的值。（2）已知：○+☆=160，◎+☆=160。○是否等于◎？”例4：“什么是平角？平角与直线有什么区别？（1）每相邻两个角可以组成一个平角，一共能组成几个平角？（2）您能推出∠1=∠3吗？”

从教材编排来看，例3是等量代换的内容，等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，是演绎推理的基础。例3中，△ 、□的值是以等量代换为基础逐步推理得出的。例4是一道经典的用演绎推理来进行证明的几何题。这两道例题逐层推进：从“通过演绎推理得到结果——例3（1）”到“通过演绎推理得到结论——例3（2）”，再到“用演绎推理进行几何证明——例4”，这一过程是演绎推理经验逐步积累的过程。按教材编排特点，这两道例题是可以作为一课时内容进行教学的，于是，我们以“数学思考——简单的推理”为课题，开始了磨课活动。

一、一磨——生搬硬套

我们以“依据条件用有逻辑的数学语言表达推理过程”为主要目标，以“初识推理（例3〈1〉）→再识推理（例3〈2〉）→拓展延伸（例4）”为教学思路开始第一次磨课。

没想到，教学中第一环节就出现了问题。当出示例3（1）后，大概3分钟，多数学生都能说出△ 、□的值。指名口答时，学生基本都能说出关键：将“△+□=24”中的△换成“□+□+□”。但当老师要求学生一步一步说清楚自己的想法，并说出每一步的依据时，学生面面相觑，不知所措。于是，老师借助课件，一步一步带领学生推理，并指导每一步推理的依据。之后，例3（2）与例4的教学，学生更是畏畏缩缩，教师只得生搬硬套，勉强完成教学任务，而“依据条件用有逻辑的数学语言表达推理过程”的主要目标没有达成。

为什么会这样？这一课的难点在哪儿？如何才能有所突破呢？我们认为，这一课最大的困难是学生缺乏演绎推理的经验。

要想有所突破，首先，应该要有必要的铺垫，要让学生明白什么是演绎推理的依据，哪些可以作为演绎推理的依据。其次，要让学生知道演绎推理的过程，应是从已知开始，逐步推理出结论的过程。最后是要帮助学生构建推理的模式，借助模式进行有逻辑的数学表达。

二、二磨——越俎代庖

根据大家的建议修改了教学设计后，二磨开始了。课前老师与学生以“仔细地观察，认真地思考，规范、严谨地表述”为主题与学生进行了交流，鼓励学生在本节课能规范、严谨地表述自己的想法，并说明：严谨，就是要说清楚依据，然后以两个小问题导入本课：

1.∠1+ ∠2=？你的依据是什么？

2.如果x+5=22，那么x=？依据是什么？

之后的例2两个小题的教学中，教师在学生交流的基础上，构建了“已知：_，可得：_（依据：_），所以_（依据：_）”的表述模式，并引导学生表述推理过程，教学比较顺利。但当老师出示例4（2）“你能推出∠1=∠3吗？”的问题，放手让学生自主推理时，问题出现了：全班只有几个同学举手，而且也是支支吾吾，表述不清。

应该说，导入环节有一定的铺垫作用，可以唤起学生的知识储备，知道“平角=180°”“等式的性质”等是进行推理的依据（课中说依据时，明显比上一课顺畅），例3教学时的表述模式，也应该能让学生说清楚推理过程。为什么到例4教学环节时，还是这样困难呢？如何才能有进一步突破呢？

我们分析，例3的教学有“越俎代庖”之嫌，教师根据学生的交流进行整理，以课件出示的形式完善表述模式，但这只能让学生初步感知，而无法逐步内化。学生演绎推理的经验积累过程，并不是一个范例可以解决的。我们考虑，“用数学语言严谨地表达”的学习过程，应要让学生经历“示范模式→填空模式→自主推理”的过程;推理的体验过程，应该要让学生经历从最简单模式（已知→结果）到稍复杂模式（已知→过渡结论→结论）的过程。只有在这样的过程中，学生不断反思总结，不断积累经验，才能最终“水到渠成”。

三、三磨——水到渠成

教学设计在大家的建议下修改完善，由我执教开始了第三次磨课。

1.起点——学生的最近发展区

师出示右图，问：∠1+∠2=？

生：180°。

师追问：为什么？

生：∠1、∠2可以组成一个平角。

师：那为什么是180°呢？

生：因为平角是180°。

师出示：因为 ∠1和∠2可以组成一个平角，所以∠1+ ∠2=180°（依据：平角=180°）。

师：数学的表达重在严谨规范，当老师提问“∠1+ ∠2=？”时，你能像这样把你的想法说清楚、说完整，你就是最棒的！

师再出示：已知x+5=22，可得x=？

生：已知x+5=22，可得x=17，依据是等式的性质。

教学的切入点应要直击学生的最近发展区。本课“依据条件用有逻辑的数学语言表达推理过程”这一目标实现有较大难度的原因在于学生表达经验的匮乏，那我们就寻找学生最易表达的范例，引领学生走入最近发展区，以此为基础逐步推进，帮助学生逐步积累数学表达的经验。

2.示范——构建数学表达模式

师出示：△、□、○各代表一个数。已知△+□=24， △ =□+□+□。求△ 、□的值。

学生观察、思考、计算。

师：△、□的值各是多少？你是怎么想的？

生：□的值是6，△的值是18。可以把△+□=24中的“△”換成“□+□+□”，求出□=6，那么△=24-6=18。

师：“△”能换成“□+□+□”吗？为什么？

生：可以，因为△ =□+□+□。

师：一个量用与它相等的量去代替，这就是“等量代换”。同学们，你们能规范、严谨地把想法说清楚吗？试试看。

师逐步引导学生说清楚推理过程，并交流每一步推理的依据，最后课件出示：已知：△+□=24，△ =□+ □+ □。

可得：□+ □+ □ +□=24（依据：等量代换），

即：4×□=24（依据：乘法意义），

所以：□=6（依据：等式性质）。

3.填空——模式内化的阶梯

师再出示：□=6，那么△=？

生齐说：△=18。

师课件出示：已知：_，可得：_（依据：_），所以：_（依据：_）。

师：你能借助这个模式把你的想法说清楚吗？

生1：已知□=6，△+□=24，可得……

生2：已知□=6，△=□+ □+ □，可得……

教师在教学中，对于“□=6，那么△=？”的问题往往一带而过，但我认为这应是学生演绎推理经验积累的一大契机。首先，同一题目中由完整模式的示范到填空模式的尝试的过程，是学生将模式逐步内化的必要过程，是学生演绎推理的必要过渡。其次，选择不同的已知条件：“□=6，△+□=24” “□=6，△=□+ □+ □”推导出相同的结果：△=18。可以让学生初步感知演绎推理的方法多样性，为例4推理的方法多样性埋下伏笔。

4.回想——推理模式建构、方法掌握的催化剂

师出示：○、☆、◎各代表一个数。已知：○+☆=160， ◎+☆=160。那么：○ 是否等于◎？

学生观察思考后交流。

生1：因为“○=160-☆，◎=160-☆”，所以“○=◎”。

生2：因为“○+☆=◎+☆”，所以“○=◎”。

师：回想一下我们之前的表述过程，你们能将他们的想法规范、严谨地表述出来吗？

生互相交流后反馈。师以“已知：_， 可得：_（依据：_），所以：_，（依据：_）”的模式板书。

教师引导学生对比两种推理方法。

5.自主——推理方法的巩固与拓展

出示右图。

师：你知道哪些角的和是180°吗？请规范、严谨地回答。

生：因为∠1和 ∠2组成一个平角，所以∠1+ ∠2=180°，依据是平角=180°……

师根据学生口答，逐步出示：∠1+ ∠2=180°，∠2+ ∠3=180°，∠3+∠4=180°，∠4+ ∠1=180°。

師：以这些为已知条件，你能推出∠1=∠3吗？请将推理过程完整地写在作业纸上。

师借助展台展示学生推理过程。

……

演绎推理在小学阶段以例题形式出现，可看出编者重视小学与初中数学教学的延续性，有意识地渗透初中内容，为学生未来的数学学习作必要的准备和铺垫。我们一线教师应该要思考编写意图，把教学重心放在对演绎推理这一方法的感悟和体验，从而积累演绎推理的初步经验。