初中数学例题功能的再挖掘与探究

2020-08-06陈斌

新课程·上旬 2020年2期

陈斌

摘要：以《义务教育数学课程标准》为依据，对浙教版初中数学的例题、习题的传统功能进行再挖掘与探究。结合教学实践中具体的案例，运用教材例题再挖掘的策略，从例题示范功能的再挖掘、方法与思维启迪的再挖掘和育人功能的再挖掘等方面寻求例题的深入剖析，以发挥其潜能。

关键词：初中数学;教材例题;再挖掘

教材例題是经过教育专家队伍对教学内容的系统研究、反复挖掘、系统探究的基础上设置的。教师是教学活动的实施者、引导者和促进者角色，教师要根据教材的特点和教材例题的设置，从学生的实际出发，从学生的兴趣出发。结合学生的兴趣和教材的特点，创设能有效地调动学生的学习参与，促进学生的主动感知和体验的学习情境，让学生在情境体验的驱动下，展开对例题情境的充分体验和感知，在对例题的充分观察、深入思考、深刻挖掘的过程中，实现对知识点和系统等的科学理解和把握。

一、教材例题的传统功能探究

（一）例题的原有功能

1.示范功能

例题的作用在于示范，这个示范既是教师知识的落实，也是学生解决问题策略的范例，是数学教学活动有效开展的载体，是某课堂核心知识内容的集中体现。结合新课程标准，初中数学的例题示范功能主要是理解和运用新知，巩固概念、定理，解决问题的示范;帮助学生掌握解决这类问题的基本流程，模仿解题，达到解题格式的示范作用。

2.方法指导和思维的启迪

数学例题的功能在于方法的指导和思维的启迪。在教学中，我们要充分理解教材，理解例题设置的目的，有深度地学习。在解决“例题”的过程中，教师要根据知识要点来设置引导问题，通过观察、类比、猜想、归纳等活动，引导学生形成解决问题的方法和策略。

3.育人功能的有效渗透

情感和价值观是浙教版数学教材的一个重要目标维度，因此，如何通过例题的教学来挖掘育人的功能是其一项重要任务。在教学中，例题教学体现出来的思维能力有助于学生理性思维能力的培养，统筹解决问题;例题解决时的类比思想、分类讨论、数形结合等数学思想的归纳，有助于学生辩证唯物主义思想的渗透与形成;例题讲解时充分挖掘数学的背景知识、发展由来，可以培养学生的爱国情怀。

（二）教材原有例题的功能尚有待挖掘

1.教材中的例题示范功能的拓展还有待加强

在数学课堂教学中，在充分理解教材的基础上明确例题设置的目的，理解数学、理解学生，将数学核心思想有效落实。我们要培养学生的逆向思维能力，举一反三，有效地掌握知识。

2.在方法和思维启迪上的功能有待挖掘

特别是通过一类例题的解决，让学生解题从“知其然”到“知其所以然”再到“何有知其所以然”。几何例题怎么教、怎么解，代数问题怎么教、怎么解。

3.例题教学的育人价值有待挖掘

在教学过程中，我们只注重问题的背景研究，而忽略了我们的探究精神。

二、教材例题功能再挖掘的策略

数学知识既不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的。数学活动是经验积累和反思的过程。我们可以从例题与习题的条件和结论、题目背景、题目的解决问题的方法、核心素养落实的手段等方面进行再挖掘。

策略一：情境创设生活化

在教学中，我们的例题设置应建立在学生已有的生活经验之上，通过教学活动，让学生体会数学在生活中的价值，从而激发学生学习数学的兴趣。我们可以根据学生的认知规律，将具体问题抽象成数学问题，利用所学的知识去解决问题，以达成教学目标。

策略二：解题思路多元化

我们在教学中，最后的教学目标是让学生知道“知其所以然”。通过类比教学，多角度分析思路，对解题一般方法、思维技巧进行再探究。在实际的教学中，学生因为认知规律的束缚，导致一些问题只能按部就班去解决，没有真正做到一题多解，最终指向多题一解路径。

策略三：自我编题促成长

在教师讲解例题后，学生学习的过程中，结合自我的认知，完成相应的例题和习题的反思，在这一过程中，学生往往根据自己的经验、知识解决时的方法等，设计出相应的题目。这样学生就可以举一反三，提高学习的效率。

三、教材例题功能的再挖掘

1.示范功能的再挖掘

教材例题的示范功能不仅是解题格式的示范，更重要的是解题方法与思维的示范，通过一个题的示范掌握一类题的解法。

【案例】已知：如下图，在Rt△CAB和Rt△ECD中，点D在边BC的延长线上，且∠ACE=∠B=∠D=90°。求证：△CAB∽△ECD。

在△ABC和△CDE中

解析：∠B=∠D=90°∠ACB=∠CED（同角的余角相等）

∴△CAB∽△ECD

学生在解题过程中，教师在板书示范的过程中可以概括出一般特征“一线三等角”问题。从相似三角形的判定“两角对应相等的两个三角形相似”这一判定入手，进行思维的示范。改变条件，将直角变成一般角度时该如何解决问题。

如下图，在△ABC和△CDE中，点D在边BC的延长线上，∠ACE=∠B=∠D，则△ABC∽△CDE。

在△ABC和△CDE中

解析：∠B=∠D∠ACB=∠CED（三角形的内角和为180°）

∴△ABC∽△CDE

这样的教学，从特殊到一般，理解问题的本质，帮助学生从“知其然”到“知其所以然”和“何以知其所以然”的跨越，从知识的巩固、解题格式的示范、方法的归纳等方面进行了示范，有效建立了解决几何问题的套路，即几何教类比。

2.解题方法与思维的启迪拓展再挖掘

【案例】在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正方形，求证：S2+S3=S1。

解析：证明：∵S2=b2，S3=a2，S1=c2

根据勾股定理：a2+b2=c2

∴S2+S3=S1

变式2：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，分别以a，b，c三边为边做正三角形，那么有S2+S3=S1

在这一例题的讲解中，教师从勾股定理入手，进行解题方法与思维启迪的再挖掘。一是让学生从直角三角形入手，向外构造图形，探索同一图形为背景下图形之间的关系，二是改变图形背景，探索不同背景下图形之间面积的关系。从不同的层面让学生经历体验，让学生感受图形的变化，而图形变化的本质是勾股定理。特别值得一提的是在学习共同体下，学生相互的交流沟通，有效促进了问题的解决，归纳出在复杂图形下如何探究，为学生自我体验和学习共同体下的合作体验提供范式。

教师在教学中，根据例题解决问题思维的启迪，帮助学生自我设计题目。学生根据实际设计了如下题目：

类型1：改变向外拓图形，解决问题的思维不变

已知：如下图，直角三角形的两直角边为a，b，斜边为c，分别以a，b，c为直径做半圆（等边三角形、等腰直角三角形等），求证：S2+S3=S1

【变式】公元前约400年，古希腊的希波克拉底研究了他自己画的图形，得出一个历史性的数学结论。你能说出这个结论并说明理由吗？

类型2：探索同一图形为背景下的图形之间的关系。

如下图，是一些由正方形和直角三角形拼合成的图形，其中最大的正方形的边长为7cm，你能求出正方形A、B、C、D的面积之和吗？请试一试。

特别值得肯定的是，一些学生在理解知识本质的基础上，通过几何画板设计了美丽的几何图形，感受数学之美，激发了学习兴趣。

我们在学习过程中，可以利用各种学习工具，通过“实践—分享—展示—评价—整合”五个循环式的学习环节，让学生在理解例题的方法和思维的基础上，自我设计题目，从而对例题进行深入的再挖掘。教师在这样的课堂上要有丰富有趣的活动形式，激发学生更灵活有效的学习方式，不断优化学习内容，发展思维，发挥潜能，同时要及时进行总结评价，对学生给予积极正面的评价，让学生感受成果的同时体验到自己的价值。最后，学生根据自己的经验体会，畅所欲言自己的切身感受与实际收获，从勾股定理到图形面积关系的拓展练习中感受学习数学的魅力，体会古代数学的文化成就。

3.育人功能的再挖掘

【案例】1：也是一个很有趣的比，已知线段AB（如下图），用直尺和圆规作AB上的一点P，使AP ∶ AB=1∶。

在讲解之后，我们要充分挖掘例题的育人价值。数学题目的育人价值在于自我探究精神的挖掘。我布置了两个实践作业：通过查找互联网、文献等方式去查找有趣的比，写一篇科学小论文，并分享交流。

在这个过程中，学生通过小组合作，去查询数学中的知识，并了解这些有趣的比有什么作用。在这一过程不仅让学生感受数学的博大精深，也培养了科学的探究精神。在合作中发现问题，在交流中解决问题，在分享中感受数学乐趣，真正培养孩子们学习数学的兴趣。

四、小结

荷兰数学家弗赖登塔尔说，数学教学方法的核心是学生通过课堂经验，对已有的数学问题进行“再创造”的过程。教师在教学过程中，要立足课本例题，从学生的认知水平、思维角度充分挖掘例题的功能，以期发挥例题功能的最大优势。

1.例题功能在于挖掘，使数学教学活动更加有效，从而促进核心素养落地

在教学中，我们对例题解决问题方法的示范，从类比的角度多题归一解，从例题方法与思维的启迪中培养学生的探究精神，从例题的育人功能中激发学生研究数学的精神。这样的过程，让学生对数学有了深入的理解，激发学生的学习兴趣。

2.例题功能的再挖掘，需要教师具有更高的素质

我们在教学中，教师要充分去研究教材、比较教材，结合课程标准，有效去挖掘例题最终指向。同時也要学习一些先进的前沿知识，在教学中渗透人文素养，探究方式与方法，让数学课堂“活”起来。

参考文献：

[1]郑昌喜，刘庆萌.充分挖掘典型例题的教学功能[J].初中数学教与学，2019（8）.