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外接球球心的秘密

2020-08-06朱贤良

中学数学杂志(高中版) 2020年4期
关键词:立体几何

【摘 要】 多面体外接球问题求解的关键在于确定外接球球心的位置,一般可以通过外心垂线交点法、坐标法、特殊模型法等途径进行确定.

【关键词】 外接球;球心;立体几何;长方休;直棱柱

球与多面体的外接关系是空间中一种比较特殊的位置关系,因为较难画出直观图形而使得问题变得抽象难懂,故而多面体的外接球问题常常成为考察空间想象能力的重要载体,能全方位、多角度、深层次地考察学生的直观想象素养.实际上,解决此类问题的关键在于准确确定外接球球心的位置,我们无须画出外接球,即可准确、有效地定位球心.本文将分别运用外心垂线交点法、坐标法与特殊模型法等三种办法来揭开外接球球心的秘密.

1 外心垂線交点法:但知截面圆心在,两条垂线定球心

在平面几何中,根据圆的垂径定理,圆心与弦中点的连线垂直于弦,故而过两条弦中点分别作这两条弦的垂线,这两条垂线的交点就是圆心.类似地,在立体几何中,球的截面性质告诉我们,球心与截面圆心的连线垂直于截面,因而过两个截面圆圆心分别作这两个截面的垂线,其交点即为球心.我们知道,多面体的任一表面多边形的外接圆都是其外接球的一个截面,此截面圆圆心即表面多边形的外心.在确定外接球球心位置时,只需要选取多面体的某两个表面,分别过其外心(即截面圆圆心)作此平面的垂线,这两条垂线的交点即为多面体外接球的球心.

从以上10例的分析可以看出,不论是外心垂线交点法、坐标法,还是特殊模型法,在求解外接球问题时,其关键一步是认清多面体的结构特征.能否准确把握的多面体结构特征,直接决定着解题的成败.因此,对于一个具体的多面体外接球问题,到底应该选用什么样的解题策略与方法,依赖于我们对其模型识别的结果.

作者简介 朱贤良(1981—),男,安徽枞阳人,高级教师,主要从事中学数学教育与考试研究,获市级骨干教师、先进教研个人等荣誉称号,近十年在《中学数学杂志》《中学数学教学参考》等期刊发表教学研究论文一百多篇.

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