高中数学概念教学中“问题串”设计的实践研究

李晓波

【摘 要】 基于目前高中数学概念教学的情况，本文先分析实际课堂教学情况，提出一种新的教学设想——“问题串”设计教学.教师先设计一系列“问题串”，引导数学概念的生成，揭示数学概念的本质，有助于阐述“问题串的”概念及其应用.结合自己的教学实践，设计了一些“问题串”的教学案例.最后根据自己的案例体会做了小结与展望.

【關键词】 问题串;数学概念;案例

1 问题的提出

数学概念是数学的起点，是构成定理、法则、公式的基础，是学好数学的前提.当前课堂上教学概念有些教师直接给学生讲解，不管概念产生的起源和为什么需要这个新的知识概念，在这之后就大量地做题巩固知识.在应试教育的刷题模式下，学生只知道这个题目的解法，至于概念的本质模棱两可，使得学生机械的记住数学概念表面公式，对于数学概念的内涵知之甚少.那么，教师应该如何转变这种方式，让学生既记住数学概念表面知识，也能运用概念去解决其他数学问题？笔者在教学中发现，教师可以设计“问题串”来引导数学概念的生成，用问题串的模式承上启下，全方位地展示一个类似问题，能揭露数学概念的本质.问题串的教学方式能很好地让学生了解、掌握概念的起源和形成过程.问题串的设计目的就是加强学生的数学逻辑思维，让学生自主地学习，激发学生的学习兴趣，让学生积极参与到教师的教学当中.

2 问题串的概念

“问题串”是指在一定的框架内，教师引入的一个中心目标，按照一定的逻辑思维，精心设计的一连串问题.通过这些问题的承上启下和解决这些问题的通法，达到一种高层次的逻辑思维，以便了解问题的本质，掌握通法规律，巩固知识技能和思维迁移.

3 问题串在数学概念教学中的应用

数学基础知识是以数学概念为主，反映数学的本质，很多问题都是概念转变而来.每一个数学概念都有它自己的作用，了解概念的同时也要对其性质作一定的推导归类.对于任意一个数学概念，引导学生利用概念解决问题，将复杂的问题逐步简单化，深化概念的理解.

对于数学概念的教学，教师需要掌握概念产生的起源和它的外延，前后因果关系透彻便于学生理解概念.概念中隐含的规定、条件逐一认识，不遗漏，使之全方位理解牢固掌握.

下面，笔者通过教学案例来说明如何设计“问题串”促进数学概念的有效生成.

案例 课题：§2.3.1 双曲线及其标准方程

一、教学构思

圆锥曲线是高中数学必学的知识，是直线和圆的知识的继续，数形结合思想的进一步运用.通过数形结合的方式，学生体验了代数方程解决几何问题的方法，会对解析几何有进一步地了解.对于已经学过的直线与圆学生比较熟悉，概念也简单，而对于一般二次曲线，学生从没接触过，因此本章的学习会继续研究二次曲线，利用代数方法来研究曲线，强化解析几何的思维.

本节课是在学生学习了椭圆知识后，再来研究的新曲线，椭圆的研究内容和研究方法可以为双曲线提供一定的参照，用类似的方法进一步地研究圆锥曲线.对于研究的对象——双曲线仍然采用解析法，将几何问题变为代数方程问题，在平面直角坐标系中利用数形结合的方式探索双曲线的代数表达式，用代数方程的思维研究其几何性质.

二、教学目标设置

1.学生能正确理解双曲线的定义并在归纳总结定义的过程中培养其数学抽象素养.

2.学生了解双曲线的标准方程及其推导过程，并能根据相关条件求出双曲线的标准方程.

3. 在双曲线标准方程的推导过程中使学生进一步体会解析几何中数形结合的基本思想，并培养其数学运算和推理的核心素养.

三、学生学情分析

本节课，学生在之前学过了椭圆定义及其标准方程，掌握了一动点到两定点距离之和的推导并化简方程，通过类似的方式来推导双曲线及其标准方程.对于和与差的区别学生可能犯迷糊，双曲线的定义是到两个定点距离差的绝对值为定值的动点轨迹，学生对绝对值的计算化简可能会认知错误.

从双曲线内容上看，双曲线是两支曲线，不是封闭图形，学生理解起来可能有一定的障碍，在教学中要注意与椭圆的相似之处也要考虑不同点，区分不同的知识点.利用多媒体数学软件协作解决问题，需要学生亲自动手操作，这方面还有待提高.

四、教学重难点

1.重点：双曲线的定义及其标准方程的推导.

2.难点：双曲线定义（两支曲线）的生成过程以及标准方程的推导过程.

五、教学方法及其理论依据

1.最近发展区理论：学生在有指导帮助的情况下能达到解决问题的水平和学生自己独立解决问题的水平之间的差异，也就是两个临近发展阶段的中间过渡阶段.教师如果能很好地把握“最近发展区”，可以提高学生解决问题的能力.

2.支架式教学：来源于“最近发展区”理论，构建了一种框架，为学生理解知识搭建桥梁，教师为了让学生进一步理解问题，预先把复杂的学习任务分解若干，从易到难，让学生逐步理解，保证学生的学习任务一直处于学生的最近发展区.

3.教师从学生实际学情出发，根据其最近发展区将本节知识内容进行难度梯度划分，适当建立支架，设计合理的教学任务.

六、教学过程设计

1.复习回顾

设计意图 进一步基于双曲线的定义内涵来激发学生的思维发散，使其更全面认识椭圆与双曲线的方程，使知识内在联系更为凸显，使思维不断深化.让学生多角度审视问题，在思考过程中概念越来越清晰，思维能力不断提升.

教学设计评析 双曲线这一节运用问题串来展开教学，以探究椭圆的几何概念性质为基础，用一系列的动点轨迹“问题串”作为载体，本着“从特殊到一般”的认识规律，逐步引导学生探索并导出双曲线方程的一般形式.现在可以使用数学软件动态演示图形的变化规律，学生能直接根据图形认识双曲线的定义.高中生经过了函数的学习，抽象思维基本达到了运用数学符号表示数学概念的要求，通过一系列的问题认识到“到两点距离之差为常数的点的轨迹是双曲线”，再用两个问题作为补充，完善学生对双曲线定义的理解，把握好重难点.学生通过这一系列的问题串的探究过程，培养抽象思维.

“问题串”在数学课堂中的教学应用，对学生而言提高了学习效率和能力，对教师而言激发了学生的主动学习，提高自己的备课能力，让自己得到了专业方向的发展，对于目前教学中的高效课堂有一定的作用，也是一种高效的教学方式，减轻了学生的学习负担，也让学生的自主学习能力得到了加强，符合目前新课程改革的要求.正如数学家弗赖登塔尔的数学名言：数学知识不是教出来的，也不是学出来的，而是研究出来的.在教学中熟练运用问题串，为数学教学提供一种新的方式.