三角函数概念教学
2020-08-06杨彬
【摘 要】 三角函数作为高中一个重要的知识点,不仅是重要的周期函数模型还是解析几何中的重要工具.三角函数的概念定义有两种,这两种定义可以由三角形相似原理联系起来,任意一种都有它的优点也有不足,我们不能单纯批判或抛弃其中任意一种.为了帮助学生建立更加完善的知识网,培养学生数学核心素养,教师应该合理安排教学内容顺序,使得两种定义方式发挥其最大作用.
【关键词】 三角函数;高中概念教学;数学核心素养
1 问题提出
三角函数是将角度与线段长度比值联系起来的桥梁,使得我们对角度能够进行更加深刻的学习研究以及应用.在数学不断发展的过程中,由于应用和研究思路等各种原因影响,三角函数的定义方式演化出了两种,分别是单位圆定义法和终边定义法.在学术界内关于高中三角函数到底应该采用那种定义形式的争议一直没有定论,在高中数学人教版课程教材中,这一点体现的十分明显,在人教A版教材中采用的是单位圆定义法,在人教B版教材中采用的是终边定义法.那我们究竟该如何抉择,二者真的有优劣之分吗?
2 两种定义方式
这两种定义法各有其支持者,他们各持己见,各自都在为自己的观点出谋划策.章建跃教授曾谈到以单位圆作为载体来讲授以上知识点的优越性,即任意角α的终边与单位圆的交点P(x,y)唯一确定,正弦函数、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系为:角α(弧度)对应于点P的纵坐标y为正弦值,角α(弧度)对应于点P的横坐标x为余弦值,这可以得到非常清楚、明确并且很简洁的表示.由于单位圆上易于动态演示,促进学生将静态的角度想象成动态的角度变化,这样就易于学生学习三角函数的周期性、对称性、单调性等性质.由于三角恒等变换跟角度变换紧密相关,角度的变换实质上是任意角α终旋转的结果,所以单位圆上动态的过程也利于三角恒等变换的学习.终边定义法的支持者大多是一线教师,他们的认为单位圆定义法的不足之处在于缺乏一般性.认真思考一下为什么教师们会有这样的观点,主要是由于在三角函数定义的上一节是“弧度制”,其中对于任意角所对应的圆的半径不一定是单位1.
总结一下两个阵营的看法,终边定义法的支持者认为:单位圆定义法有两大突出不足,其一就是缺乏一般性,由于其规定交点为终边与单位圆的交点,即要求点P(x,y)需要满足x2+y2=1,这样的规定就使得该定义方式缺少了数学定义一般性的要求,而终边定义法在这一方面更具优越性,它需要的只是终边上的任意点P,将一般性展现的淋漓尽致;其二是认为单位圆定义法不利于解题,由于其是在单位圆上进行的定义,使得学生在解题时若遇到半径不那么特殊的情况时就容易出现迁移偏差,例如学生在遇到点P(3,4)时,按照单位圆定义法的思路应该先把P点变为P(35,45)再进行三角函数的求解,无形之中增加了解题步骤,也就增大了犯错几率.而单位圆定义法的支持者认为:终边定义法的不足在于其几何含义不够清晰,没能清楚表达“角的数集到比值数集的对应”这样的函数观念,而且由于不能很好地利用数形结合,所以也不利于学生学习周期性等函数性质,单位圆定义法需要紧扣单位圆图形进行后续学习,如果结合单位圆上点的动态运动过程将更有利于学生理解周期性,单调性,对称性;还有一点就是终边定义法不利于学生对弧度制的学习,不利于对弧度制引入必要性的理解.
3 深度认识两种定义方式
无论是采用终边定义法还是单位圆定义法,在引入三角函数概念之前都会先给学生灌输弧度制思想,即率先将学生对于角度的以往认知(局限于360°内和一些熟悉的特殊角度),拓宽到了整个实数范围内,并且初步涉及了周期性,即终边重合的角度不一定相等,中间可能差了好几个周期.在这样的认知基础之上,终边定义法和单位圆定义法虽各有不足,但又各有所長,二者看似是两种定义方式,本质上却是一样的.
二者同样都是以终边上的点为基础来进行定义,单位圆定义法是以终边与单位圆的交点为基础,终边定义法虽说是以终边上的任意点为基础,但是实则是以终边与半径r为x2+y2的圆的交点为基础,其实只是将单位圆的半径扩大了x2+y2倍,如下图3所示:
由于二者对三角函数值的定义是比值形式,由三角形的相似性可知这样的成倍扩大或缩小并不会对三角函数值有影响,终边上任意点都可以通过三角形相似对应到单位圆上,单位圆上的点也可以通过三角形相似推广到任意点,即三角函数值和终边上所取点的位置无关,从这个角度来说这两种定义形式是一致的.由于二者可以以三角形相似为桥梁进行相互转换,那么二者的优点都是互通的.终边定义法与单位圆定义法一样都具有清晰的几何含义,也可以很好利用数形结合帮助学生学习函数性质.同理而言,单位圆定义法中规定的终边与单位圆的交点也具有一般性.
为了引导学生能构建更加完善的知识网络,从而达到高中阶段的学习目标,我们可以尝试将两种方法都传授给学生,按照一定的讲授顺序,承上启下,让两种思想各司其职互相迁移,从而开阔学生的思维.
笔者认为教师对任一数学概念的讲授更应该着眼于全局,对任一概念的讲授应该利于学生整体知识网络的建构.三角函数概念建立的前一节是弧度制,后一节是三角函数的性质与图像.弧度制的核心任务是要学生学会任意角度与弧度的互化,即强调了任意性,最常见的一种练习题类型就是:已知半径为120mm的圆上的一条弧长为144mm,求此弧所对圆心角的弧度数与角度数.即此时学生意识中任意角的终边上的点到圆心的距离(半径)并不都是1,而是任意正实数.如果在这样的认知基础上,在讲授三角函数定义时突然规定用单位圆来定义,许多学生或许不能理解为什么一定要是单位圆.三角函数概念建立的后一节是三角函数的性质,如果仍然坚持紧随终边定义法,以任意点P(x,y)的正弦sinα=yx2+y2,余弦cosα=xx2+y2来讲解函数的周期性、单调性、对称性等性质,由于计算量大大增加,若不能依靠类似于几何画板这样的技术软件,单靠学生计算来探究是很难抽象概括出这些函数性质,若完全依赖于技术软件,缺乏活动探究经验的学生又如何深刻体会这些函数性质,从而达到概念定理灵活应用呢.根据以上分析,我们可以总结出:单位圆定义法不利于承前,终边定义法不利于启后.
哲学上认为存在即合理,这两种定义方式能经历历史长河大浪淘沙传承至今,必定是因为它们有他们的存在必要性,我们不应该随意批判其中任意一种定义方式.要使得学生能流畅学习所有内容,我们最好的选择就是结合两种定义法,高效利用二者的长处,使得学生对三角函数能有更好的认识,从而提高解决问题的能力.
4 总结
建议的讲解顺序是先讲终边定义法,然后以任意点P(x,y)到原点的距离x2+y2为半径以原点为圆心构造圆,随后画出单位圆,通过三角形相似告诉学生终边上的任意点都可以对应到单位圆上,由此引入单位圆定义法.这样的讲解顺序既结合了终边定义法承前和单位圆定义法启后的优点,同时又结合两种定义的特长,每一个知识点的引入对学生来说都建立在已有的认知基础之上,就不会显得突兀.充分利用数形结合,为下一节函数性质的学习埋下伏笔,在将终边上任意点对应到单位圆上的过程中,充分锻炼了学生的逻辑推理能力,同时也增加了学生的学科活动经验.
根据《普通高中数学课程标准(2017年版)》,教師的课程教学需要担负起对学生数学学科核心素养的培养责任,包括培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析这六大核心素养.从另一个角度来说就是要构建并提高学生的“四基”和“四能”(“四基”指的是基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验,“四能”指的是发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力).其中对三角函数这一知识块的要求是:建立一般三角函数的概念,体会引入弧度制的必要性;用几何直观和代数运算的方法研究三角函数的周期性、奇偶性、单调性和最大(小)值等性质;探索和研究三角函数之间的一些恒等关系;利用三角函数构建数学模型,解决实际问题.即当下我们认为三角函数这一章节的主要学习任务是:弧度制、三角函数的概念及函数特性、三角函数的恒等变换.
为了完成这些任务,让学生达到自我提升的目标,教师应该以大局为重,思考如何优化课程才能帮助学生更好地自主建构更完善的知识网络.李邦河院士曾说“数学根本上是玩概念的”,即数学的根本在于对概念的认识、理解、记忆、应用,只有帮助学生建立起各知识点间的联系,才能帮助学生理解数学,从而提高数学迁移能力、数学解题能力等,最终提高数学能力.
作者简介 杨彬(1996—),女,四川人,首都师范大学数学教育在读研究生;研究方向:中小学数学教育.