高等数学课程实践教学课题的研究设计

李 华

(西安航空学院 理学院，西安 710077)

0 引言

高等数学作为高校理工类本科教学的基础课程，其理论和实践方面的教学改革颇受关注。高等数学课程传统的教学方式是“灌输式”，学生模仿解题思路做题但缺乏创新性的解题方法，数学知识的本源和应用被掩盖。近几年，随着高校教育教学改革的不断深化，案例式教学、问题驱动式教学、MOOC、翻转课堂等新的教学模式相继出现，改革的目标是从以“教”为主向以“学”为主转变，激发学生学习的内驱力以及自主学习的能力，培养学生的实践创新能力。熊文俊[1]采用了问题驱动式教学模式，有效调动了学生积极性，让学生更好的参与到教学过程中，是一种探究式教学。夏红[2]等人借助MOOC对微积分的教学模式进行探究，采用复合式教学，将网络教学模式与课堂相结合。张卫国[3]等人采用带有对问题探讨因素的启发式教学，并结合数学实验、数学软件和数学建模课程，构建了培养学生创新能力的课程体系。

李大潜教授指出，数学上的不少概念、方法或理论，有些本身就来自其在现实生活中的原型[4]。数学实验教学存在一些问题，如实验素材拘泥于教材，与学生的具体专业、研究问题和生活不够紧密[5]。基于此，本文在选取实践课题时，一方面遵循课本，是对课本的概念、定理、方法的验证和具体操作；一方面选取学生感兴趣的生活实例，是对高等数学课程的具体应用，能够使学生直观感受微积分的概念和应用方法。

1 实践课题的设计思路与方法

高等数学课程实践课题的设计是根据高等数学课程的知识体系，遵循微积分教学四原则(图像、数值、代数、自然语言)来设计小课题和实验，使学生对高等数学的定义定理有直观深入的理解，并了解其简单的应用。

课题按照不同的实验目的分为验证型、应用型和探索型实验[6]，实验预先明确实验目的、对应的知识点和使用的程序。对于验证型实验，设置在相应章节讲授之前完成，要求学生有目的地预习，并了解知识的背景和应用。对于应用型实验，设置在章节内容讲授之后，是对本章知识的凝练和提取，具有较强的综合性，且是学生熟识或感兴趣的问题，是对所学知识的使用和实现。对于探索型实验，题目设置较灵活，可由学生自己寻找和设计，注重实验实施的过程和方法，不以实验结果为唯一的考查目标。

2 课题的分类和示例

2.1 验证型课题

对高等数学中抽象的定义定理，通过数值计算及绘制图形的方式，使其具体化、形象化，让学生了解其来源和应用，并对数学有直观的认识。

实验例1[7]，利用麦克劳林公式，用幂函数近似表示指数函数ex，ex的麦克劳林公式：

取n=1，2，3，4，5

n=1ex≈1+x

幂函数近似指数函数的图形见图1所示。从图形上看，随着次数n的增大，一方面幂函数的表达式越发复杂，一方面幂函数越逼近于ex，在实际应用中，n需要适当选择。从图1显示的幂函数次数的变化过程，可以使学生直观地感受麦克劳林公式的作用，体会用幂函数近似指数函数表示复杂函数的过程，体会微积分中“近似”的思想。

图1 幂函数近似指数函数的图形

实验例2[7]，傅里叶级数近似矩形波。将矩形波的波形函数展开成傅里叶级数，选取不同阶数的部分和函数并绘制其图像，揭示傅里叶级数近似矩阵波的过程，使傅里叶级数的产生背景和应用实例具体化，使傅里叶级数的概念更加直观清晰。矩形波的傅里叶级数展开式：

用MATLAB分别绘出傅里叶级数前1,2,3,5项部分和的图形，并与矩形波图形作比较。如图2所示。

图2 傅里叶级数前1,2,3,5项部分和的图形

从图2可知，矩形波是由一系列不同频率的正弦波叠加而成的。通过实验，让学生理解傅里叶级数的作用和级数产生的背景，进一步探究级数在本专业和现实中的应用。

2.2 应用型课题

选取学生熟识的且与生活息息相关的问题作为小课题，该课题是高等数学课程的运用的过程，能将所涉及知识的应用背景及本质呈现出来。

实验例3，选取碗作为实物并计算其体积和表面积。建立空间直角系，在坐标系下测量相关数据，建立曲面方程，运用三重积分计算体积，运用第一类曲面积分计算表面积，如图3所示。该课题在完成过程中，需将多个知识点连接起来，具有较强的综合性，达到应用知识和解决问题的目的。

图3 碗的旋转抛物面

建立空间直角坐标系，建立旋转抛物面的方程

利用第一类曲面积分求表面积：

计算结果：碗的体积约为538.78cm3，表面积约为344.2195cm2。

实验例4，计算一片品客薯片面积的大小。该薯片具有不易破碎的特点，究其原因是其形状为双曲抛物面，即马鞍面，如图4、图5所示。

图4 马鞍面

图5 马鞍面在XOY上的投影区域

建立马鞍面的方程为：

利用第一类曲面积分求表面积：

投影区域面积为：

S=20.452cm2

计算结果：一片品客薯片的面积约为48.256cm2，该曲面的面积约为其投影区域平面的面积的2倍。

课题设计过程中，当计算或画图难度较高时，可以给出相关程序代码，数学软件在小课题中只作为工具和辅助手段，不作为实验的考查点和目的。

通过实验，建立了空间直角坐标系及空间曲面方程，并将重积分和曲面积分的计算应用到曲面方程中。通过实例，将多元积分学的知识贯穿起来，具有较强的综合性和应用型，使重积分的背景和应用具体化，起到了“边学边用”的作用。

3 探索型实验

根据学生常见且关心的问题来设计实验，让学生能够应用高等数学知识，探索性地发现问题、解决问题。

实验例5，等额本金和等额本息两种还款方式。通过比较两种还款方式的月还款额，探究两种还款方式的优劣和试用的人群。

设贷款金额为m元，贷款年限为n年(共计12n月)，年利率为x，每月归还利息为at元。

(1)等额本金与等额本息的月还款额：

第t个月的还款额为b+αt，

(2)等额本金与等额利息前六个月每月利息的比较，设m=100000元，n=5年，年利率为6 %，如表1、表2所示。

表1 等额本金

表2 等额本息

(3)等额本金与等额本息的前五年月还款额的比较，如图6所示。

等额本息月还款额为 1933.28元。

图6 前五年月还款额散点图

(4)实验小结

等额本金还款方式为月还款额，并且随着月份的增加而增长。前半段时期利息较高，每月还款额相对较多；后半段时期利息逐月减少，还款额越来越少，适合有一定经济能力的贷款人。约在第28个月时，等额本金和等额本息的月还款额相等。

4 结语

近几年出现了多种新型教学形式，如混合式教学、翻转课堂、MOCC、在线教育[8]等，其目的就是改革传统的教学模式，从以老师“教”为主体向以学生“学”为主体转变。本文研究了高等数学课程实践课题的设计，将小课题和实验穿插在教学过程中，或作为学生预习的导入，或作为学生知识的总结与提炼，让“学生边学边用”。通过对小课题的分析研究，让学生对高等数学的概念、定理有直观的感性认识。通过“用”数学，使学生对数学的思维和学习方法有更深入的理解，点燃其数学思维的火花[9]，培养和提高学生分析问题、探究问题、解决问题的能力。