关于傅里叶变换教学中的拓展

杨杰

[摘           要]  傅里叶变换作为重要的数学工具在数学学科本身和工程的应用中都起到非常重要的作用，这部分内容也是复变函数和复变函数与积分变换课程中的教学重点和难点。主要讨论如何在傅里叶变换的教学中推广到分数阶傅里叶变换，并探讨它们之间的联系，从而让学生对傅里叶变换的理解更加深刻。

[关    键   词]  傅里叶变换;分数阶傅里叶变换;Hermite-Gauss函数

[中图分类号]  G642                 [文献标志码]  A               [文章编号]  2096-0603（2021）11-0090-02

一、引言

傅里叶变换是工程领域，特别是信号处理领域一种很重要的算法，例如在信号与系统和数字信号处理等相关课程中都占了比较大的篇幅。但是为什么要进行傅里叶变换，其变换的物理含义是什么，一直是学生对其理解的难点。本文主要根据自己多年从事复变函数和复变函数与积分变换的教学实践，为了让学生所学知识更好地为后续专业课的学习服务，适时地激发学生的学习兴趣，对这两门课程中关于傅里叶变换教学中所存在的问题进行分析，提出了一点自己的意见和建议。

傅里叶变换是傅里叶在十八世纪初为了得到热传导方程的简便解法而提出来的，后来在其他自然科学和工程技术领域迅速得到了广泛的应用，特别是成为信号处理方面不可或缺的一种数学工具。傅里叶变换作为复变函数与积分变换课程教学内容的核心之一，一方面表现在教学中，傅里叶变换是其他积分变换法的基础。傅里叶变换拥有良好的基本性质，这是决定其重要性和广泛应用的关键因素之一，因此对傅里叶变换基本性质的讲解要作为教学中的重点内容，这也是作为工科学生应用的基础。对学生来说掌握有一定的难度，并且往往理解不够深刻，另一方面，傅里叶变换对处理某些问题具有局限性。本文主要从另一个角度来介绍傅里叶变换，让学生理解傅里叶变换更加深刻，进一步通过这种方法把傅里叶变换进行推广，从而得到分数阶傅里叶变换，让学生了解到分数阶傅里叶变换的重要性和科学发展的历史性。

二、傅里叶变换到分数阶傅里叶变换的拓展

为了让学生对傅里叶变换有系统的认识，在讲解傅里叶变换前简单介绍傅里叶变换的由来，让学生认识到理论发展的历史机遇和现实之间的联系，然后重点讲解傅里叶变换的概念、主要性质、一些常用函数的傅里叶变换和傅里叶逆变换以及傅里叶变换在频谱分析中的应用。大家熟悉的傅里叶变换定义形式为：

通过这两个定义表达式，让学生知道可以把一个信号本身的时域特性经过傅里叶变换后就转化成信号的频域特性，然后进行系统的频域分析和信号传输，最后再利用傅里叶逆变换还原为信号本身，从而达到信号分析和传输的目的。

为了让学生对傅里叶变换有更深刻的认识，用一次课的时间从另一个角度来讨论傅里叶变换，从而把经典的傅里叶变换推广到分数阶傅里叶变换。在1980年，Namias将傅里叶变换的特征值与特征函数作为出发点，引入了分数阶傅里叶变换的定义。具体来讲，普通的傅里叶变换是定义在信号空间上的连续线性算子F，对其特征方程是

这样，通过特征值和特征函数就完全定义了分数阶傅里叶变换。由上式可知，当p=1时，可退化为经典的傅里叶变换，当p=-1时，可退化为经典的傅里叶逆变换。通过这种形式的讲解，让学生学会从多种角度看待问题，提高学生的科学素养，开阔他们的视野。然后通过对比经典傅里叶变换和分数阶傅里叶变换的性质，让学生更加清楚两者之间的联系。

三、经典傅里叶变换与分数阶傅里叶变换的性质比较

傅里叶变换和分数阶傅里叶变换有很多性质都是相似的，上表中我们只列出了这两种变换主要而且常用的三个变换性质，而这三个性质也是在信息处理中常用的。由上表可知，性質1是指变换的平移特性，性质2是变换的微分特性，性质3是变换的积分特性。从形式上看，经典的傅里叶变换的性质比分数阶傅里叶变换简单，但分数阶傅里叶变换的参数a可以任意取值，当它取特殊值时，这样可以让表达式得到简化。在下一节，我们用具体的例子说明利用分数阶傅里叶变换的微分性质，一方面选择特定a可以降解，另一方面，还得处理变系数的微分方程。需要说明的是对经典的傅里叶变换，幂函数与能量有限信号的乘积不一定是可积的，也就是经典傅里叶变换积分发散。但对分数阶傅里叶变换来说，幂函数与能量有限信号的乘积积分在取特定的a时是收敛的，这样，处理的信号就比经典傅里叶变换更加广泛。让学生认识到科学的发展是循序渐进、不断完善的一个过程。

四、分数阶傅里叶变换在工科实际问题中的应用

傅里叶变换的应用是广泛的，其中一个应用是对信号进行时频分析，另一个应用是解决常系数微分方程的求解。为了让学生更加深刻地理解分数阶傅里叶变换，作为分数阶傅里叶变换的应用讨论变系数的微分方程的求解，以物理和工程中出现的量子谐振子的时间独立的薛定谔方程的求解，来给学生展示这种积分变换的意义。

五、总结

本文主要从物理中的微分方程简单介绍了分数阶傅里叶变换的作用，如果课时允许，还可以从信号处理角度给出它的应用。这样可以把原有的理论知识与工程实践密切结合并达到触类旁通，提高专业素养的目的。通过上述关于傅里叶变换和分数阶傅里叶变换的讨论，可以进一步让学生认识到随着时代的进步和社会的发展，对人才的需求也在不断发生变化，作为教师，在为学生提供教学服务时，应该了解不同专业学生的需求，并且适当地为学生介绍一些现代分析问题的工具，从而激发学生学习数学知识和现代科学技术的积极性。

参考文献：

[1]苏变萍，陈东立.复变函数与积分变换[M].3版.北京：高等教育出版社，2018-07.

[2]陶然，邓兵，王越.分数阶傅里叶变换及应用[M].北京：清华大学出版社，2009-09.

[3]钟玉泉.复变函数论[M].4版.北京：高等教育出版社，2012-08.

[4]四川大学数学学院高等数学、微分方程教研室.高等数学[M].3版.北京：高等教育出版社，2009-07.

编辑 马燕萍