“两位数乘一位数”为例溯源运算能力的形成与发展

夏新

摘   要：本文以苏教版小学数学三年级上册“两位数乘一位数”为例，来分析学生运算能力的形成与发展过程，并提出有效的建议，引导学生积极地、有深度地参与到数学探索活动之中，理解算理、概括算法、积累数学经验、培养数学能力，发展数学核心素养。

关键词：运算能力;估算;算理;发展能力

运算是小学数学的基础知识，也是小学数学的主要内容之一。《课程标准（2011年版）》将“运算能力”作为小学生数学课程内容的核心，要求学生能够根据法则和运算定律正确地进行运算的能力。

一、运算能力的形成过程

培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。运算技能可能通过反复操练形成，但运算能力需要在理解算理的基础上，通过有意义的练习才能逐步形成。

1.估算得数，心中有数

苏教版三年级上册第一单元教学两、三位数乘一位数。例1至例4教学了整十、整百数乘一位数的口算，估算和倍数关系。比如教材的例5：“湖面上飞过3队大雁，每队12只。一共多少只？”

这是个简单的数学问题，学生分析数量关系式后不难列出乘法算式12×3，本课的重点也是要解决这样的两位数乘一位数乘法笔算。认知发展心理学的有关研究表明，在儿童计算能力的发展过程中，估算能力的发展要相对早于精算能力。估算作为运算能力的重要组成部分，不仅表现在对计算结果的监测，也表现在对具体问题的求解过程中。由于这道题与之前学习的整十数乘一位数不同，不少同学在得到精确得数之前，会先借用之前的学习经验，用10×3来估算得数为30，其实此处已经先计算出如果每队是10只大雁，那么3队大雁的总只数是30。

2.理解算理，初识算法

估算后，教材放手让学生先用小棒摆一摆，自主探索计算方法并和同桌交流，这是充分激发学生已有的学习经验，从而生长新知识。学生可能想到三种方法：一是根据乘法的意义，求12×3，也就是求3个12相加的和，因此得数是36，此时学生已经将实际问题抽象成数的计算。二是联系已有的口算经验想到，3×10=30，3×2=6，30+6=36。三是通过摆小棒的实际操作，先将整捆的合起来，有3捆，也就是3个10，是30，还有3个2根，也就是6根，合起来是36根。

在这一环节让学生通过对摆小棒的过程加以组织，使这些经验具有生长新的计算方法的活力，更便于其对已有的经验加以提炼和组织，也更容易在头脑里形成表象，对于后续的算理理解是十分有益的。

刚才的三种方法其实是有联系的，在充分激活旧知和动手操作之后，教学两位数乘一位数的竖式计算方法。这实质上是对摆小棒方法的一种记录。因此，在列竖式时，要不断引导学生将竖式过程与刚才摆小棒的经验结合思考。

列出竖式后，学生会有这样的疑问：计算乘法竖式时究竟先从个位算起，还是先从十位算起？此处我们可以通过旧知识来理解算理，12×3即3个12相加的和，既然是3个12相加，自然是先从个位算起，那么12×3也先从个位算起，这个难点就迎刃而解了。在完整的写出竖式之后，还可以回顾算法的记录过程，每一步竖式的过程就是摆小棒过程的抽象化。这些做法都是让新学习的形式化的算法回归到学生已有的经验中获得支撑和解释，利用表象思维展开抽象思维。

学生在理解算法，初识算理后，还可以引导他们联系加法竖式的过程，将两部乘得的积和在一起，得到简洁的竖式计算方法。

3.建立模型，概括算法

类似的，3与十位上的1相乘得3个十，那如果3与百位上的数相乘，得到的数是以什么为计数单位？该写在积的哪一位上呢？通过一系列的追问，学生内化算法，形成数学模型，当一位数与个位上的数相乘时，得数以“个”为计数单位，写在积的个位;当一位数与十位上的数相乘时，得数以“十”为计数单位，写在积的十位;当一位数与百位上的数相乘时，得数以“百”为计数单位，写在积的百位……以此类推。因此教师在教学中不能囿于学生探究出相应的结论或计算结果，而应进一步发展学生“讲理”的意识与能力。

运算教学都要以明确的算法为指导，因此概括算法是每一节计算教学的重要内容。但概括算法需要以学生的体验为基础，重视学生对算法的理解，而不是机械地背诵条文。

二、发展运算能力的教学建议

运算能力并不仅仅是将口算、估算和笔算的简单组合，而要根据实际问题，灵活选择，寻求合理简洁的运算途径解决问题。教师在教学过程中应全面认识运算能力的内涵，把握全局。

1.有意识地进行估算

在解决问题的过程中，我们可以通过笔算得到精确的得数，也可以在笔算之前通过估算来监测笔算结果的合理性，并且在具体情境中，体会估算在生活中的作用。例如： 每次运72箱，一共400箱，6次能运完吗？

离开纸和笔，我们也能得出结果，并且为运输公司提供最优化的运输方案，学生从中得到学习的成就感。

2.创设真实有趣的情境

真實、有意义的情境可以激发学生参与的热情，更有效地解决问题。例如，购买学习用品计算价格是每个小学生在日常生活中都能碰到的真问题，在五年级上学期第四单元教学小数加减法时，例题是：小明购买一个讲义夹用4.75元，小丽购买一本笔记本用3.4元，小明和小丽一共要用多少元？

分析数量关系式，学生很快就能列出算式，根据生活体验和对人民币的了解，学生列竖式时，很轻松地就能将元与元相加，角与角相加，分与分相加，教师只需指出，小数加、减法与整数加、减法对位相同，都只需要将相同数位对齐即可，至此，小数加、减法的计算方法自然而然地生成了。相反，如果脱离开这个生活情境，上述意义的建构就不会如此自然地发生。

3.过程中不断优化方法

教师在教学时提供多元的环境，让学生在多样的计算比较方法中发展优化方法的意识，避免思维结构单一的路径。例如：一种铁矿石，每10吨可以炼铁6.05吨，照这样计算，1000吨这种铁矿石可以炼铁多少吨？除了计算每吨铁矿石可以炼铁的吨数外，我们还可以通过1000吨铁矿石里有100个10吨，从而炼铁的吨数也是6.05吨的100倍来解决这个问题。

总之，计算教学中，教师要抓住数学知识的特点，创设合适的教学情境，引导学生积极地、有深度地参与到数学探索活动之中，理解算理、概括算法、积累数学经验、培养数学能力，发展数学核心素养。

（作者单位：江苏省昆山市玉山镇同心小学）