高中数学教学中的“问题”设计

江苏省吴江高级中学 凌 锋

问题是数学的心脏，问题是数学教学的动力引擎。在高中数学教学中，教师要善于设置问题，引导学生的深度思考、探究。问题与学生的数学学习往往是相辅相成的，好的问题能激发学生思维，催生学生想象。“非问无以广识，非学无以致疑。”作为教师，要以问启学、以问导学，通过问题，引导学生进行高效的数学学习。

一、萌芽问题：找准学生数学学习的萌生点

所谓“萌芽问题”，是指“能萌生、开启学生数学思维的问题。”在高中数学教学中，不仅教师要精心设计问题，还要引导学生主动发问。不仅要设置事实性的问题——是什么，而且要设置反思性的问题，追问“为什么”。只有善于追问“为什么”，学生的思维才能更加灵动、深邃。教师要赋予学生深度思考、探究的空间，让问题成为学生数学学习的萌生点。

比如，“向量”（矢量）的概念是高中数学的基本概念，也是高中物理力学学习的重要概念。这一部分内容的学习不仅具有数学意义，而且具有物理学意义。所谓“向量”，是指“一个同时具有大小和方向、且满足平行四边形法则的几何对象”。为了从本源意义上揭示向量概念的来源，为促进学生的数学理解，笔者借助学生熟悉的“速度”这个量来引入：有一只老鼠在前面，其速度是12 米每秒，有一只猫在后面，其速度为15 米每秒，猫一定能追上老鼠吗？刚开始，学生纷纷认为“能追上，因为猫的速度比老鼠快一些，总会在某一个地方追上老鼠”。为此，笔者进一步追问：速度快就一定能追上吗？学生展开深度研讨。在交流、研讨之中，学生周全地想到：如果它们为一个方向，就能抓到，而如果它们俩不是同一个方向，就不会抓到，甚至南辕北辙。至此，学生深刻认识到，猫抓老鼠不仅依靠速度，而且要考虑方向。于是，向量这一抽象的数学、物理学概念的最本源的核心要素就被揭示了出来。

萌芽问题要赋予学生广阔的思维空间。提问是一种数学教学智慧，它不仅能唤醒学生的认知，而且能引导学生对数学知识进行重组，从而催动学生的创新。问题不仅能让学生获得“鱼”，而且能让学生获得“渔”，从而让学生的数学学习体现逻辑性、严密性。

二、核心问题：找准学生数学学习的刺激点

反观当下高中数学问题教学，一个重要的问题是“问学课堂”沦落为“问答课堂”。“琐碎问”“机械问”“形式问”等现象层出不穷。换言之，这些问题不是问在点子上、问在关节处，因而不具有思维含量，对学生没有多大的启发。核心问题教学要求教师的问题教学要把握数学学科的本质，设计的问题要“少而精”，要求问题要切入学生数学学习的“最近发展区”，能对学生的数学学习形成适度的刺激，引发学生的认知冲突。

教学《求数列的通项公式》，学生的学习难点是：用不同的方法求出通项公式。如果教师分别讲解各种方法，一是容易让学生产生学习疲劳，二是泯灭了学生的学习兴趣，不利于学生的自主探究。笔者在教学中精心设计核心问题，通过核心问题助推学生的理解、探究。

问题1：等差数列的概念是什么，如何用数学的符号语言来表示？

问题2：能否运用an+1-an=d(n∈N＊）来求出数列{an}的通项公式？

学生在问题的探究中，能够自然引出诸种方法，如迭代法、恒等变形法、累加法等。

问题3：等比数列的概念是什么，如何求出等比数列的通项公式？

学生通过类比，能得出恒等变形法、迭代法、累乘法等。

美国心理学家桑代克认为：“学习的本质是在刺激和反应之间形成联结。”在数学教学中，要让学生的数学思维快速生长，就需要一些外来的刺激。作为教师，要循序渐进地设计核心问题，在学生的已知和未知之间架设一座桥梁，从而能巧妙地刺激学生的数学学习。

三、枝节问题：找准学生数学学习的发散点

德国著名思想家黑格尔说：“创造性思维需要有丰富的想象。”在高中数学教学中，生成性的问题，有助于发散学生思维。这就要求教师在教学中，要结合数学知识，引导学生向纵深处探究。发散性思维，有助于拓展学生的思维深度，深化学生的数学理解。通过枝节性的问题，让学生固化思维的束缚、禁锢，让学生敢于尝试新方法、新策略等。

比如，教学《圆锥曲线》这一部分内容，通常会采用两种教学方法组织教学，其一是将椭圆、双曲线和抛物线等合成一个整体进行教学，这样有助于学生对圆锥曲线形成统一认识，即圆锥曲线是“到定点的距离与到定直线的距离的商是常数e 的点的轨迹”，但却不利于学生深入地展开学习；其二是分别研究椭圆、双曲线和抛物线，对每一种曲线都从定义、方程、几何性质上加以讨论，这样的教学有助于学生深度学习，但却不利于形成整体认知。循着教材的设计思路，笔者在教学中，用“总分总”的方式进行，凸显数学知识生成的连贯性、逻辑性。运用问题生发的方法，发散学生的思维，既让学生展开深度研究，又让学生从整体上把握。首先出示一个引导性的问题：平面内到一定点的距离等于定值的点的轨迹是什么？在引导性的问题基础上，发散学生的思维，引导学生主动问学。有学生认为，可以将平面改成空间，有学生认为，可以将“到一个定点”改成“到两个定点”，有学生认为，可以将“到一个定点”改成“到一条直线”，等等。通过发散学生的思维，自然能将学生引向研究“双曲线”、研究“抛物线”“椭圆”等。

恩格斯说：“思维是地球上最美丽的花朵。”枝节性问题有助于学生将要思考的内容融为一个整体。在教学中，教师要精心设计问题生长的路径，引导学生从简单到复杂、从易到难、从封闭到开放，促进数学思维的合理性生长。