数形结合在初中数学解题中的应用

江苏省南通市通州区金郊初中 严 霞

数学主要研究空间图像与数量关系，是一个能将自然规律与社会规律相整合的特殊语言与工具。在初中数学解题教学中，“数”具有运算属性和精确性，“形”有整体性与直观性，数形结合是运用数量和图像的特有关系，把数量和图像相互转化，达到由复杂变简单、由模糊变实际、由抽象变具体的目的，帮助学生更快、更准确地解题，增强他们的学习自信。

一、以形助数——应用直观图形理解数量关系

在初中数学课程教学中，部分数量关系较为抽象，学生难以理解和把握，图形不仅具有直观形象的特点，还有几何方面有序性与整体性的特征，能将具体思维表现出来，在分析和处理问题时起着重要作用。因此，初中数学教师在具体的解题教学中，应引领学生找到数量所对应图形，巧妙地将数量问题转变为图形问题，使其通过分析与推理图形直观地解决数量问题，如利用数轴、函数图像等均能达到以形助数的目的，帮助他们快速理清解题思路。

如在开展“一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”教学时，教师设计题目：先画出一次函数y＝3x－6 的图像，学生观察图像解决问题：当x取何值时，3x－6 ＝0，3x－6 ＞0，3x－6 ＜0，3x－6 ＞4？

解析：学生根据函数图像能够发现直线y＝3x－6 同x轴的交点横坐标即为方程3x－6 ＝0 的解，他们能轻松求出x＝3；直线y＝3x－6 在x轴上方的图像即为y＞0，在x轴下方的图像则为y＜0，以及在直线y＝4 上面的图像是y＞4，这些所有点的横坐标就是所求x的取值范围。

反思：在解决这道题目时，教师需指引学生把数量转变为图形，借助图形找到数量关系，使其在直观的平面直角坐标系辅助下快速求出正确答案。

针对上述案例，在形象的图形中，学生能够清晰明了地看到数量关系，使其尝试利用一次函数图像求解一元一次方程与一元一次不等式题目，感受到数形结合思想的实用性。

二、以数解形——运用数量关系揭示图形性质

在初中数学教学过程中，虽然图形具有直观、形象的优势特征，不过也有表达不便、烦琐与粗略等不足，以至于在定量方面离不开代数计算的辅助。尤其是对于较为复杂的几何图形，学生在解题时不仅需要将图形正确数量化，还应当认真、仔细地观察图形特点，善于挖掘出几何图形中的隐含条件，然后借助图形的几何意义或性质，使其将图形准确地表示为数量形式，实现化难为易的目标，最终在以数解形导向下运用数量关系揭示出图形的性质。

在上述案例中，虽然题目难度不大，图形也较为简单，但是学生难以准确确定数量和图形之间所对应的关系，只有通过计算数值才能够找到处理图形的方法，以此求得正确答案。

三、数形互助——数量关系图形性质有机结合

初中数学研究的对象主要分为数量与图形两大类别，两者之间是有密切联系的，能相互转换。在解题教学中，初中数学教师要帮助学生掌握数形互助的解题方法，原因在于部分数学题目较为复杂，并非简单的以形助数或以数解形，而是要数量和图形之间相互变换，既要想到由直观的图形转变为严密的数量，还需由严密的数量转变为直观的图形，使其从已知条件与结论同步切入，仔细分析找出题目中内在的数形互助关系，从而有效解决题目。

比如，在《二次函数的图像和性质》教学实践中，教师出示题目：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如下图所示，那么下列结论中正确的是：（1）a＋b＋c＜0；（2）a－b＋c＞0；（3）abc＞0；（4）b＝2a。

解析：图形作为一种特殊的数学语言，可以有效呈现一些代数式中的数量关系，通过观察图形往往能得出部分算式。此时，学生需从数量和图形两个角度同时思考，两者实时转换，他们发现：当自变量x＝1 时，函数值y＜0，当自变量x＝－1 时，y＞0，所以前两个结论是正确的；再结合函数图像开口方向向下，对称轴为直线x＝－1，顶点位置在第二象限，能得到a，b，c的数量关系，判断后两个结论也正确。

上述案例，学生从数形两个方面展开同步思考，使其根据数量关系研究图形特征，再根据图形特征引出数量关系，通过数形的互助作用解答题目，让他们体会到数形结合的奇妙。

总而言之，数与形贯穿于整个初中数学教学，教师需高度重视这两者之间的关系，指引学生有效应用数学结合思想来解题，使其将问题变得更为精确化、简单化和具体化，借此拓展他们的思维空间，使其快速找到恰当的解题思路与方法。