由一道余姚市教师大比武试题引发的思考

傅 绒 史日能

(1.浙江省余姚市梦麟中学 315400；2.浙江省余姚市第七中学 315400)

本人有幸参加了余姚市第二届青年教师大比武，该活动意在提高青年教师的教学能力，进一步推进师资队伍建设.无论是准备过程还是比赛过程都是一种自我的提高与成长，从中可以发现不足、查漏补缺，收获颇丰.比如在参加笔试时，第九道选择题就让我印象深刻.

一、问题的提出

第9道选择题是：函数y=f(x)在点x=x0处取得极大值，则必有( ).

A.f′(x0)=0 B.f″(x0)<0

C.f′(x0)=0且f″(x0)<0 D.f′(x0)=0或不存在

分析如果函数y=f(x)在x0可导，且在点x=x0处取得极大值，则必有f′(x0)=0；如果函数y=f(x)在x0不可导，但也有可能在点x=x0处取得极大值，例如函数y=f(x)=-|x|，由函数的图象可知在x=0处不可导，但有极大值.所以该题应选D.

疑惑：函数的二阶导数与函数的极值有什么关系呢？

二、问题的解决

人教版选修1-1里对函数极值的定义是：函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其它点的函数值都小，f′(a)=0；而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其它点的函数值都大，f′(b)=0；而且在点x=b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.这是用函数的一阶导数来定义函数的极值，那么函数的二阶导数与它的极值又有什么关系呢？下面来研究它们的内在联系：

假设f″(x0)存在且不为0，x0是函数y=f(x)的极值点，则f′(x0)=0，由导数的定义可知：

三、结论的得出

如果f″(x0)存在且不为0，x0是函数y=f(x)的极值点，若f″(x0)>0，则点x=x0是函数的极小值点，函数y=f(x)在x=x0处有极小值；若f″(x0)<0，则点x=x0是函数的极大值点，函数y=f(x)在x=x0处有极大值.

四、结论的应用

那么现在我们又多了一种求函数极值点的方法，下面我们用这种方法来解决一些常见的极值问题.

(1) 函数y=(x2-1)3+1的极值点是( ).

A.极大值点x=-1 B.极大值点x=0

C.极小值点x=0 D.极小值点x=1

解y′=3(x2-1)2·2x，令y′=0，得x=±1,0，y″=30x4-36x2+6.∵y″|x=-1=0，y″|x=1=0，y″|x=0=6>0，∴选C.

(3)2010年天津理科21题的第Ⅰ问是：已知函数f(x)=xe-x(x∈R),求函数f(x)的单调区间和极值.下面来解决这个函数的极值问题

显然用以上方法来求极值点与书本上提供的方法要来得简单方便，但是这种方法也不是万能的.对于某些复杂函数，如果出现f″(x0)=0的情况就不适用了，例如函数f(x)=x4(x-1)3.用函数的二阶导数来求极值点的方法适用于函数f″(x0)存在且不为0的时候.

通过对这道题目的思考使我对函数极值有了更深入与广泛的了解.正如克莱因所说的：“挑选好一个确定的研究对象，锲而不舍，你可能永远达不到终点，但是一路上准可以发现一些有趣的东西.”