图指方向，依形辅数——一道解析几何题的解法探究

新疆乌鲁木齐市实验学校 (830026) 符强如

在每年的全国各地的高三模拟试卷中，总有一些亮眼的试题.2020年乌市一模压轴题本身表述简洁，蕴含丰富的数学思想，是一道既能提供丰富教学内容的优质题，又能利于拓展想象力并激发学生思维的灵活性，其鲜明的导向性和研究价值，符合新课改对数学核心素养的考查要求.笔者通过深入探析并多角度展现解题思路，希望对同仁教学有所借鉴.

(1)求曲线E的方程;

现主要探讨第(2)问.

图1

图2

角度三：面积问题可通过仿射变换思路探路.椭圆仿射变换后成为半径为1的圆，如图3，M′又是A′B′的中点，所以A′B′⊥C′D′,且C′D′为直径，A′C′B′D′面积即为弦长

图3

通过仿射变换实现化椭为圆，将复杂问题转化为熟悉的圆的问题，利用圆的性质大大简化了计算.其对椭圆中最值、角度、定值、证明等问题，起到优化计算的效果.在近几年的高考中也是屡次出现.

高考链接：

证明：△PQG是直角三角形；(ⅱ)求△PQG面积的最大值.

提示：通过仿射变换，△P′Q′G′为直角三角形，再结合夹角定理，将S△P′Q′G′用一个变量∠P′Q′G′表示出来易求最值.

提示：通过仿射变换后，将所求问题与平面几何知识-三角形的相似结合，再利用△OA′B′是等腰三角形，易得证.

3.(2015年全国Ⅱ卷理)已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

(1)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

提示：通过仿射变换后，平行四边形OA′P′B′成为菱形，再利用其性质易得斜率.

结语：图在解析几何的解题过程中是无声的语言，图也是思维的起点，“形”可直观地表现“数”，将题目中的隐含变清晰，找到数学中的基本进行转化，进而提高学生对数学问题的核心认知.教师应该多挖掘教材背后所蕴含的丰富知识，能从高等数学的角度剖析中学数学问题，看得远，站得高，更有利于理解中学数学问题的来龙去脉，帮助学有余力的学生看清数学问题的本质，有效发展学生的数学核心素养.