三种思路破解一道定值题

江苏省淮安市新淮高级中学 (223001) 王恩普

高考中经常会出现涉及到定值的一类题型，难度较大，考查的知识相对综合，典型的特点是运算量大，费时费力，令很多人望而生畏，下面分别从通法、设而不求、平面几何三个角度，对一道直线与圆中的定值问题进行研究.

题目已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4，直线l1过定点A(1,0)，若l1与圆相交于P,Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N，判断|AM|·|AN|是否为定值.若是，则求出定值；若不是，请说明理由.

思路1:(通法)如图1，因为直线l1与圆相交，所以斜率存在，不妨设为k，则直线l1：y=k(x-1),联立

图1

点评:解法自然，属于通性通法，重在通过联立方程组解交点.方法容易想到，但是需要一定的运算求解和逻辑推理素养.同时也提醒我们在平时的学习过程中要加强这方面的训练.

图2

点评:与解法一相比，整体思路相似，但是设而不求的方法避开了繁琐的解交点的步骤，大大减少了运算量，“隔山打牛”的过程，既提高了速度，又增加了过程的准确率.

图3

点评:题目中的隐含条件的挖掘显得很重要，发现了垂直条件，进而得到两个三角形相似，从而使得所求的距离之积转化成了两个定值的乘积，得到解决.顺着这个思路，还可以归纳出一般性的结论，其实就是垂直条件是最后定值的保证.

在平时的解题过程中，我们不仅要关注通性通法，熟练的掌握通性通法，同时也要关注在通性通法下的解题过程的优化，可以是思路上的调整，也可以是运算过程的调整，这样的思考也会真正提高自身的解题能力，发展自身的数学素养.