例析解几中涉及三角形面积的多种题型

江苏省苏州市吴中区苏苑中学 (215128) 蒋 艳 杨品方

在高中的数学解题中，有关三角形面积的题目尤其多，本文拟看看与解析几何中曲线有关的三角形的面积问题．这类问题，除了能考查三角形面积的计算，还能考查曲线的性质，还能考查用代数运算来研究几何图形的思想，所以备受数学爱好者的青睐．本文略举几例来说说该类三角形面积问题的常用处理方法，供探讨．

题型1转化面积的比值为线段长度的比值

初中学习过“相似三角形”，有个知识点叫“面积比是相似比的平方”．由此可见，处理两个三角形面积比值问题，不一定要计算面积，合理转化就可以了，可以转化到弦长．

图1

(1)求椭圆的方程；

(2)过右焦点F2的直线l与椭圆交于A,C两点，记ΔABF2,ΔBCF2的面积分别为S1,S2，若S1=2S2，求直线l的斜率．

分析：题中涉及的两个三角形，如果分别选择AF2,F2C作为底边，那么它们的高是一致的，所以面积比就可以转化为底边的比值，不需要具体求面积．

点评：如果费尽辛苦先求得点B到直线AC的距离d作为三角形的高，计算时候还是要约分约掉的，没有必要计算．

《解三角形》章节学到过已知“两边一夹角”求三角形面积的公式，在解几运算中用起来也相当方便．

例2 如图2，已知圆C：(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)与直线y=3x相交于P,Q两点，则当ΔCPQ的面积最大时，实数a的值为．

图2

分析：等腰ΔCPQ的腰长是定值1，面积就仅仅受顶角所限制，写出面积与顶角的关系式来寻求最大值．

题型3运用割补法转化再求面积

初中学过，不规则图形的面积，可以采用割补法来进行求解，我们发现，在坐标系中的三角形，由于坐标轴的特殊位置，可以恰当分割来简化运算．

图3

(1)求椭圆C的方程；

分析：M是线段BP的三等分点，可以求得M的坐标．

（1）模拟酒配方。调整蔗糖含量为20 g/L，不添加乙醇和磷酸氢二铵，其余成分同1.3.1中扩培阶段模拟酒。

点评：不难发现，当三角形的一条边在坐标轴上时，面积计算相对简单点，可以把坐标轴上的边作为底边，另外一个点的横(纵)坐标的绝对值就是三角形的高了．

补形与分割是相对的，鉴于“有边在坐标轴上的三角形容易算面积”，我们可以把被坐标轴分割的三角形分割成两个小三角形．

图4

分析：ΔOAB被x轴分成上下两块ΔOFA和ΔOFB，而这两个三角形，又是有边在坐标轴上的，方便计算面积．

点评：在具体运算过程中，应培养敏锐的观察能力，本题中右焦点(1,0)，下顶点(0,-2)，两点的连线的斜率，就是已知条件中的2．同样是消元，消去y得到x的方程，应该更容易计算．

题型4运用公式“底乘以高再除以2”

对于一般三角形，如果可以直接获得底和高，那么我们就采用“底乘以高再除以2”来计算面积．

例5 如图5，已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点D为其准线与x轴的交点，过点F的直线l与抛物线相交于A,B两点，求ΔDAB的面积S的取值范围．

图5

分析：通过联立方程，可以得到弦长AB，还可以得到点D到直线AB的距离，于是就有ΔDAB的面积了．

|y1-y2|，这时候需要把直线AB的方程写成x=my+1再联立方程，而计算|y1-y2|则是弦长AB的一小步，区别不大．

解析几何中，涉及曲线的三角形的面积的计算，有时候不需要面积公式，可以转化到线段长的计算；更多时候需要我们合理分析，选择“两边一夹角”呢还是“底乘以高再除以2”呢，还是先进行必要的分割再行计算，需要我们分析与观察并举．