一道模考压轴小题引发的思考

上海市虹口高级中学 (200434) 李雪娇

立体几何是发展学生空间想象能力与逻辑推理能力的重要载体．在高考中，立体几何内容不仅出现在解答题中，也出现在客观题中．在高考数学的客观题中，更加注重从几何角度考察学生的思维水平及直观想象、逻辑推理等核心素养．

本文从2019学年上海市虹口区高三数学一模试卷中的一道选择题出发，谈谈对立体几何教学的思考．

一、试题呈现

题目如图1,正四面体ABCD的体积为1，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体的公共部分的体积为( ).

图1

本题全区均分1.85分，难度系数0.37.但因为是选择题，不排除有不少考生是猜对的．笔者统计了自己任教班级学生的答题情况，均分也正好是1.85分，在答对的同学中，仅有4位同学有想法．试想一下，如果将本题改为填空题，可能会更加惨不忍睹！

二、试题赏析

本题依托基本立体图形，在考查正四面体的基本性质、体积计算等“四基”基础上，考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，以及综合运用数学思想方法分析问题和解决问题的能力．试题情境新颖，突出立体几何的本质特征，对空间观念与空间度量计算均有较高的要求．该题还对部分学生过度依赖向量法，起到了很好的纠偏作用．虽然本题得分率不甚理想，但它对立体几何的复习备考具有较好的指导意义，值得细细品味！

三、解法探究

思路一：以退求进，从高维向低维“退”

在立体几何中，将“三维空间”的问题“退”到“二维空间”的问题，运用“复杂问题简单化”、“以退求进”的思维策略和类比思想是解决空间图形问题的重要思想方法．

分析：从三维向二维后退，先求解一个相类似的平面几何问题：如图2,正三角形ABC的面积为1，O为其中心，正三角形DEF与正三角形ABC关于点O对称，则这两个正三角形的公共部分的面积为( ).

图2

下面再回到原题：

图3

评析：通过类比相应的平面几何问题的求解，启发思维，找到解决问题的思路，让学生学会用已知来发现未知，用数学的思维思考世界．

思路二：构造模型，为正四面体寻根

图4

评析：本题如果就题解题(不化归为正方体)，对学生的空间想象与推理能力均有较高要求，而将正四面体ABCD补形为正方体，问题就变得直观、清楚了．将正四面体问题化归为正方体中的问题，是一种“解题归根”的方法，正方体就是正四面体的根，而且该方法还给出了一种“求棱长为a的正四面体外接球的体积”的较好的思路．

寻根正四面体(以下简称体Ⅰ)寻根到它的外接正方体(以下简称体Ⅱ)，“元素”之间的对应有以下的主要关系：

(1)体Ⅰ的6条棱，分别来自体Ⅱ6个面的6条面对角线；

(2)体Ⅰ的4个面，分别是体Ⅱ共面的3条面对角线确定的截面；

四、教学启示

1.渗透立体几何研究方法，促进学生学会思考

对于本题，绝大多数学生束手无策，甚至没有头绪．这暴露出我们在立体几何的教学中，还没有帮助学生形成研究立体几何问题的基本方法，学生还没有形成必要的空间观念．

立体几何主要研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系．在教学中，要遵循从整体到局部、一般到特殊的路径建构研究脉络，运用“直观感知、操作确认、推理论证、度量计算”的研究方法，关注研究立体图形的一般思路，不断渗透研究立体几何问题的方法，促进学生空间观念的形成，还要重视类比、合情推理等能力的培育．

在“思路一”中，应用类比推理将空间问题先退回到平面问题，有助于学生理解和解决新问题，帮助学生在研究新问题的过程中学会思考，在“知其然且知其所以然”的基础上做到“何由以知其所以然”，使学生懂得“思维之道”．

2.重视“基本图形”的作用，从概念的联系中探寻思路

三角形是平面几何的最基本图形，而长方体是空间几何的最基本图形．在研究基本图形位置关系时，无论对于空间点、直线、平面位置关系的整体认识，还是对于空间直线、平面的平行、垂直关系的定义、判定、性质等，都可以在长方形中找到对应的表示[1]．很多基本图形也都可以与长方体建立联系，而以长方体为基本图形也方便了空间直角坐标系的建立．因此要以长方体作为基本图形，贯穿于立体几何教学的始终，帮助学生认识和探索空间图形的性质，建立空间观念．

在“思路二”中，充分利用长方体这一最基本的立体图形，将正四面体还原为正方体来解，引导学生从概念的联系性中探寻解题思路，教会学生运用最本质的东西来解决复杂的问题，做到大道至简．

3.透彻领悟课程理念，准确把握教学要求

新课程背景下的立体几何教学，虽然对空间相关定理的证明降低了要求，也减少了定理的数量，但用加强几何直观来促进空间想象能力的发展．在大量的实际背景、直观操作和感知的基础上，引导学生归纳、概括出若干定理，感受公理化思想，在经历观察、实验、猜想、证明等数学活动中，促进相关数学结论的获得及空间观念的形成，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力[2]．

在立体几何教学中，我们要注重几何直观，加强对基本图形的认识，引导学生在直观感知空间几何体结构特征的同时，学会类比、学会推理、学会说理，养成言必有据的思维习惯．在空间向量的教学中，要鼓励学生灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度去解决立体几何问题．在使几何问题的处理更加灵活的同时，初步认识几何问题代数化的意义，帮助学生更好地认识客观世界，落实立体几何教学的育人价值！