存同求异 让分配律“形神兼备”——以乘法分配律数学模型构建为例

肖加畴

（寿宁县第二实验小学，福建 寿宁 355500）

模型思想是《义务教育数学课程标准（2011 年版）》（以下简称课标）的十大核心词之一。课标指出，模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径，有助于提高学生学习数学的兴趣和应用意识。小学运算律的教学，都是从生活情境中抽象出数学问题，用含有字母的式子表示运算中的变化规律，并理解、讨论这些式子的意义，这就是学生建立和应用模型的过程。因此，运算律的教学，是小学数学模型构建的最好体现，是最直接体现模型思想的教学内容之一，在小学数学教学中有着重要的意义。乘法分配律在小学数学计算领域中，特别是在简便计算中运用最为广泛。与其他运算律相比，由于它涉及到两种不同的运算，有特殊的数学运算关系结构，是单元教学的一大难点。为了让学生更好掌握乘法分配律的“形”，［1］理解其“神”，构建“形神兼备”的乘法分配律数学模型，笔者在教学乘法分配律这节课时，尝试从对比两岸不同版本的教材入手，存同求异，为学生构建乘法分配律数学模型搭建桥梁。

通过对比几套不同版本教材在这一内容上的编排，发现有以下几个共性之处：

一、在现实情境中引出数学模型

课标指出，情境的创设应当充分考虑学生的认识水平和活动经验，尽可能地贴近学生的生活，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法。从学生熟悉的生活场景引入，可以激发学生的学习兴趣和解决问题的欲望，唤醒已有的学习经验,感受数学的应用价值。分析几套教材对这一内容的编排，发现都是从学生比较熟悉的生活场景引出数学问题，并通过观察比较进而抽象出数学模型。不管是人教版的植树问题、北师大版的贴磁砖问题，还是苏教版班级领跳绳问题，这些都与学生的生活息息相关。这些熟悉的生活场景，学生很容易从中得到不同的解决方法，为抽象乘法分配律的数学模型创造条件。即便是台湾版教材，它的出发点和大陆也是一致的（如下图）。

图1 人教版

图2 苏教版

图3 北师大版

图4 台湾版

从具体情境中提出问题、解决问题，形成数学模型，学生能够利用情境中的数学信息从生活的角度解释数学模型，理解模型的生活意义，［2］沟通了数学与外部世界的联系，体现了数学的价值。

二、在观察比较中初步建构数学模型

比较在数学教学中无处不在。纵观几套教材的编排，无一不是引导学生观察比较两个算式之间的联系来初步建立乘法分配律的数学模型：一是比较两种解法的结果相同，两个算式可以用“=”连接；二是比较这个等式的结构，从算式中数字和运算顺序上找出它们的联系和区别；三是尝试用自己的话来说说发现了什么。

不同的是人教版教材只通过一道等式的观察比较来归纳概括（如图5），北师大版教材通过两个式子的观察比较得出，只有苏教版教材有要求学生写出几道类似的等式来观察比较，从不同的等式中找出相同的本质属性，为乘法分配律数学模型的形成提供了充分的素材。笔者认为，充分的比较，是感知模型结构的基础，从具体到抽象、特殊到一般的不完全归纳，仅仅通过观察比较一两道式子的感知，数量与质量上都比较单薄。在多道类似的等式中比较观察，显得尤其必要。

图5 人教版

图6 北师大版

图7 苏教版

三、在抽象概括中数学建立模型的结构

课标提出“使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性”。三套教材都有在比较具体式子的基础上要求用字母来表示乘法分配律，引导学生经历分配律的数学模型从具体到抽象、特殊到一般的过程。让学生用字母a、b、c 分别表示三个数来抽象概括乘法分配律，根据已有的学习经验，学生不难得出（a+b）×c=a×c+b×c。

用语言描述模型的特征，能加深对模型结构的理解，对训练数学思维能力非常重要。人教版与苏教版都是在语言阐述的基础上提出用字母来表示，教材也有呈现具体规范的语言表述（如图8、图9）。教学时，还要引导学生比较字母式与文字表达二者之间的优劣，体会模型的优越性。例如：人教版与苏教版都是在学生用语言阐述的基础上提出用字母来表示的，教材也有呈现具体规范的语言表述。对比二者的语言表述与字母表示式，不难发现：一个冗长，一个简洁。［3］从文字的表述来看，要完全理解“可以先把它们与这个数相乘，再相加”和“可以把这两个数分别与这个数相乘”所表达的意思，对四年级的学生来说比较困难，而且比较容易产生歧义。通过比较两种表达方式，发现字母表达比文字表达的数学模型更简洁、概括，更为重要的是它比文字表达更准确、无歧义。

图8

图9

从以上教材比较中可以看出，三套教材都是以“创设具体情境，提出数学问题——解决问题，形成具体等式——观察、比较，抽象数学模型——运用模型解决问题”的步骤安排教学，侧重点放在从生活意义的角度来解释和建构乘法分配律的数学模型，学生对它的生活意义及“外形”有了较丰富的认识。但教材对乘法分配律模型实质揭示未见“只言片语”，学生对乘法分配律模型的实际意义缺乏有效理解，对模型的直观感知比较模糊。为了使学生对它的认识更加丰满，让乘法分配律数学模型“形神兼备”，教学时，笔者从以下三个方面展开。

（一）运用乘法的意义引领乘法分配律教学

运算律是算法的衍生，是对四则运算运算顺序的重构。乘法的意义是乘法分配律的“神”，乘法分配律实质是乘法的意义的运用。这在三套教材的后续例题与练习安排上都能找到答案（见图10、图11）。

可见，教学时借助乘法的意义，来建构乘法分配律的数学模型，突破分配律的实质是教学所需。教学时，笔者这样教（以苏教版例题为例）。

图10

图11

【教学片断1】

师：刚才我们已经知道算式“（4+6）×24”和“4×24+6×24”都是表示四、五年级一共领了多少根跳绳，如果离开例题的图你能知道“4×24”在数学上表示的是几个几？“6×24”呢？

生1：“4×24”就4 个24。

生2：也可以是24 个4。

师：你们同意吗？在这里，更确切的是表示几个几？为什么？

生：我觉得表示4 个24，因为有4 个班，每班领24根跳绳，所以“4×24”表示“4 个24”。

师：你们同意他的说法吗？谁再来说说“6×24”表示多少？

生：“6×24”表示6 个24。

师：谁能说说“4×24+6×24”表示多少？

生：“4×24+6×24”表示4 个24 加6 个24。

师：“4 个24 加6 个24”等于几个几？

生：“4 个24 加6 个24”等于“（4+6）个24，也是10个24”。

师：谁能说说“（4+6）×24”又是表示多少？

生：表示“（4+6）个24，也是10 个24”。

师：离开例题的图，谁能说说为什么“（4+6）×24=4×24+6×24”？

生：等式的左边表示“4+6 个24，也是10 个24”，右边表示“4 个24 加6 个24 也是10 个24”，所以“（4+6）×24=4×24+6×24”。

师：离开例题的图我们从乘法的意义上也能解释这两个算式为什么相等。像这样的式子你也能写出几个吗？

学生自主书写，教师巡视，指名汇报，板书：

（7+8）×6=7×6+8×6

（12+8）×10=12×10+8×10

（25+15）×4=25×4+15×4

（50+20）×13=50×13+20×13

（100+50）×20=100×20+50×20

（21+79）×100=21×100+79×100

……

师：写得完吗？你是怎样验证它们相等的？有没有不通过计算也能发现它们是相等？

生：“（7+8）×6=7×6+8×6”左边是（7+8）个6 是15个6，右边是7 个6 加8 个6 也是15 个6，所以它们相等。

师：其他式子也能说说吗？

……

通过这样的教学，学生从已有的经验出发，从乘法意义的角度解释等式左右两边为什么相等，很好地理解了模型的实质。同时，结合之前学过的“两三位数乘两位数”中的竖式（如下图），沟通旧知与新知之间的联系，体会乘法分配律的数学意义。

图12

图13

（二）借助几何直观帮助学生建立数学模型

在具体情境的解决数学问题，从具体的算式过渡到字母式，并通过符号来构建乘法分配律的数学模型，得到的数学模型都比较抽象。人教版等三套教材都没有给出乘法分配律的几何模型。教学时，可以通过长方形面积的计算来解释乘法分配律。为了使学生在头脑中对乘法分配律的数学模型有个清晰的轮廓，教学时可以在抽象出字母式后，出示乘法分配律的几何模型，加深对乘法分配律数学模型的理解与掌握。

【教学片断2】

师：刚才我们已经学会用字母表示乘法分配律，其实，例题的计算我们也可以用计算长方形面积的方法来表示。如右图，两个小长方形合成一个大长方形，大长方形的面积等于两个小长方形的面积面积之和。你会列式表示大长方形的面积吗？

指名汇报：（4+6）×24=4×24+6×24

师：谁能图形来说说它们为什么相等？

生：（4+6）是大长方形的长，乘24 就是大长方形的面积，4×24就红色小长方形的面积，6×24 是黄色小长方形的面积，它们的和就是大长方形的面积。

师：如果用字母来表示，大长方形的面积可以写成什么？你能解释它们为什么会相等吗？

其实，比较文字、符号和几何图形三种数学语言形态，我们不难发现，图形语言与文字语言、符号语言相比，最没有争议。长度、面积都不可能是负的，图形语言比其他两种更加直观。数形结合应用，使学生对乘法分配律模型表象更加清晰、直观，同时加深了对乘法分配律数学模型结构的理解。正如著名的数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”

（三）拓展乘法分配律的变式应用

图14

小学计算教学中，经常出现“99×34”“101×59-59”，需要运用“乘法对减法的分配律”来进行简便计算。由于教学过程中学生没有见过类似的习题，遇到这类题目还需要教师花上一定的时间进行解释说明，就教学效率上来说，不见得特别高效。造成这样的原因是新课标在制定“数的运算”第二学段目标时，对分配律的定位是乘法对加法的分配律，教材在例题的编排上也就只体现“乘与加”这一内容。这点上笔者发现台湾版教材可以借鉴（如图14）。首先它从名称上把“乘法分配律”叫作“乘法对加减法的分配律”，从名称上一眼就能清楚乘法分配律不仅适用于加法，也适用于减法。其次，在例题的设计上，通过同一道例题的条件，提出用加法和减法解决问题，并将乘法对加法和减法的分配律同时呈现出来。对比几套教材例题的情境设计，不管是植树问题，还是领跳绳问题和贴磁砖问题，学生在情境图中提出和解决减法问题都是比较容易的。教学时，不妨进行这方面的尝试，当然，也要考虑教学时间的安排，对减法的分配律可以作为课后的拓展，做如下教学。

【教学片断3】

师：如果例题的问题改为“四年级比五年级多领多少根跳绳？”你会解决吗？

生1：6×24-4×24

生2：（6-4）×24

师：这两个式子它们相等吗？用等号连接：（6-4）×24=6×24-4×24

观察这个式子你发现了什么？我们已经知道两个数的和乘一个数，会等于这两个数分别与这个数相乘，再相加，这里是两个数的差乘一个数，结果会怎样呢？乘法分配律对减法也同样适用吗？带着这个问题，课后自己用今天学习的方法进行验证。

通过这样的拓展，解决了知识“到哪里去”的问题，为学生的思考提供素材，体现了乘法分配律数学模型的价值。

总之，比较不同版本的教材，汲取不同教材的精华，就可拓宽教学视野，存同求异，借教材的“他山之石”以攻教学效率之“玉”，提高教学质量，促进教师、学生的发展。