高中数学微专题教学的探索与实践——以一道定边定角的三角形的最值问题为例

蔡娜

（福州第二中学，福建 福州 350001）

何谓“微专题”，它是围绕一两个紧密相关的知识或思想方法形成的一项专题复习。［1］它的典型特征是：小切口、深层次。以主干知识的一个关键词为切口，对相关内容进行拓展。同时，它可以与特定目标解决的问题相结合。例如“最值”问题，它贯穿了高中阶段数学的学习。必修一学习的函数，其性质核心之一就有求最值；必修五学习的基本不等式，也可以用来解决代数和式或者积式的最值；学习了几何知识后，最值问题有了以形入手的解决手段。因此，“最值”这么一个小小的关键词，大有文章可作，可以从数与形两个角度切入，引出一系列问题，可见微专题以微见著的强大功能。

例.在三角形ABC 中，已知B=60°，AC=4，D 是AC 边上的中点，求中线BD 的最大值。

一、明确问题是实施微专题的首要环节

在教学初期，我们已经解决了三角形六个元素知三求三的常规题型训练，对于学生而言，这道例题的难点一开始是落在审题上，他们可能产生的困惑是：为什么求的是中线BD 的最值而不是定值。也就是，难点在于当已知量由三个降为两个时，谁是定量，谁是变量，该如何分析。因此，笔者认为应从审题入手，分析定动，明确问题，初步解决学生的困惑。

二、挖掘本质是实施微专题的重要思路

当学生明确中线BD 是变化的之后，接下来该从哪里切入进行最值的处理呢？可以让他们自行思考或者小组讨论后汇报分析。笔者认为，可以引导学生从数的角度找到切入口。从数的角度，通过建立中线BD 的表达式，再求出BD 表达式的最值。这里，有两个步骤的难点。

第一，在建立中线BD 的表达式时，可以从解三角形角度，挖掘一边一对角三角形模型的边角关系，把BD 放在三角形ABD 和三角形BCD 中，∠ABD利用∠BDC互补余弦值互为相反数，求出BD 的表达式；还有学生提出，把BD 放在三角形ABD 和三角形ABC中，利用公共角A 的余弦值，读取两次，也可以建立BD 的表达式。上述问题，其实还可以从向量入手，利用为基底，表示出及其模长，即：因 此，教学过程中，发现学生在模长的表示上比较吃力，主要原因是模长的几何公式遗忘率比较高。这三种角度，既有解三角形的方法，又有向量的介入。一道题中融合渗透了这么多方法，对学生而言确实是思维和方法的多重考验。因此“微专题”的深层次，往往还体现在每一个步骤，常常不只一种解决方法。

第二，一旦BD 的表达式有了，学生很快便从式子的结构特征中观察发现，只要能找到和式与积式的等量关系，便可以利用重要不等式来解决和式或积式的最值，问题就水到渠成地被解决了。当然，教学过程中，在求最大值时，大部分学生都是从式子的结构特征想到走不等式，那难点是和式与积式的消元及范围的求解。笔者还引导学生，利用正弦定理，把边化成角，转成三角函数来求最值，从课堂反应来看，这种方法学生基本都没有想到。教师教学和引导中，一定要抓住问题的本质，启发学生思考，打开智慧的大门。

三、技术介入是实施微专题的协助手段

“微专题”的深层次，除了涉及到多种重要方法的综合使用，往往还有一些隐藏的捷径。以这道题为例，灵敏的学生从形的角度，很快便发现了定边定角的三角形，其外接圆是确定的，因此，当点B 和D 的连线过圆心时，BD 的长度最大。然后教师可以使用几何绘图板动态展示学生的观察结果并严格证明。几何画板这一技术的介入，让学生有了一定的猜想，并能够用技术加以验证，这样，容易给学生直观的感受，提高认识问题的深度和广度。

四、合理变式是编制微专题的有效手段

“微专题”往往题量不多，题目简短，但是，小身材，大容量。可能以一题为母题，产生相关变式。有效变式是一种重要的方法，对典型问题进行一题多变，有利于学生从不同的背景中掌握通性通法，透过问题的表面看本质。比如，笔者利用几何画板把这道题中点D 的位置到四等分点，如：在三角形ABC 中，已知B=60°，则BD 的最大值是______.

教师给出变式题，并提出问题，引导学生从形的角度找到最大值的位置特征。然后学生操作，给出结论，教师用几何画板验证。这样的设计意图是通过位置的改变，来引发学生的思考。进而，当点D 移到线段AC 上的任一位置时，学生很快悟出，BD 的最大值与点D 的位置无关，那么这么一个定边定角的三角形模型便提炼出一个结论，就是：在三角形ABC中，当已知一条边AC 及其定角B 时，若则当B、O、D 三点共线时，BD 最大。

教师在微专题的授课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，主导性和学生的主体性有机结合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解决问题的方法［2］。整堂课，方法较多，难度较高，对学生综合能力考察要求比较高。

五、提炼方法、形成策略是实施微专题的主要目的

通过这样的微专题，充分挖掘出了“最值”这个关键问题的背后深层次的思想与多种解题方向，学生可以在原有函数和解三角形知识的基础上巩固自身的认知，提炼出解决问题的方法，从而形成一定的解题策略和数学模型。所以，微专题对于渗透数学建模、数学抽象等核心素养非常重要。在这样循序渐进的引导分析中，每个学生如果能长此以往，跟随着教师的课堂节奏，多思多悟，那么他们解决数学问题的能力必定与日俱增。

笔者认为，“微专题”就是以微见著，小专题，大效果，目标明确，建构模型，提升思维。既然微专题是针对真问题、小问题、实问题提出的，那么首先必须挖掘出学生中存在的问题，尤其是有价值的问题，串联成合适的知识链，形成微专题。［3］教学时，教师应当结合教学对象及学生已有的知识架构来选取配置题目，以专题为背景，结合具体实例，教学讲解，以多种方法促进学生思考与理解，从而让学生对学过的知识融会贯通、印象深刻。