循序渐进：运算教学思维展开的策略

王群　李啸

摘要：苏教版义务教育教科书数学三年级下册“两位数乘两位数口算、估算”是小学数学运算教学的基础课例，很多教师在执教本节课时发现，学生已经掌握了两位数乘两位数的口算方法，于是教师在教学时容易直接抛出计算方法便进入练习环节。此举无法让学生充分经历算理的体验过程，无法落实数学思维的培养。教师采用“渐进式”教学策略，通过层次性教学设计，引发、维持并促进学生思维的发展，从而较好地帮助学生理解算理、掌握算法，并学会灵活地运用新知。

关键词：“渐进式”;运算教学;思维课堂

《义务教育数学课程标准（2011年版）》强调数学课程目标是培养学生的数学学科核心素养，让学生具备数学基本特征的思维品质。由此可見，培养学生的数学思维是当前数学课堂教学的落脚点。由于数学思维的有序性及内隐性特征，教学活动须遵循数学思维的一般规律，由简入繁，层层递进地展开，体现出循序渐进的教学特点（以下简称“渐进式”）。本文以苏教版《义务教育教科书·数学》三年级下册“两位数乘两位数口算、估算”的教学为例，用“渐进式”教学策略说明在运算教学中如何发展学生的思维。

一、“渐进式”教学策略的基本内涵

“有序性”及“层次性”是思维活动的核心特征。以儿童思维为例，它具有独特的年龄特征和认知规律，而数学学科又具备高度抽象性和逻辑性。因此，“渐进式”教学策略要求教师遵循儿童思维循序渐进的规律，精心设计、组织教学，旨在引导其经历自主建构的学习过程，实现数学思维的优化和提升。

另一方面，“渐进式”也是一种学习方式。它是指学生作为学习主体，通过观察操作、合作交流、归纳辨析等层次性活动来激活并提升思维的认知方式，有助于培养数学“四能”，形成积极乐观的数学情感。

二、“渐进式”运算教学的实施途径

（一）借助直观模型，构筑运算的思维载体

一般来说，儿童思维具有直观形象的特征，因此，数学教学要从他们的基本经验出发，将旧知铺垫与情境创设巧妙融合，借直观模型，构筑运算思维的载体，在直观思维的“生长点”处培育抽象思维。

【片段1】创设情境：熊大和熊二在森林里种了一些果树。每行2棵，有10行，一共要种多少棵树苗？

师设问：根据题中的已知条件和所求问题，你能列出怎样的算式？（如图1所示）

生回答：2×10=20（棵）

师追问：为什么用乘法？

生明确：表示2个十是多少，用乘法来计算。

师出示课件，将10棵树苗圈成一圈。（如图2所示）

师小结：求2个十是多少用乘法计算。

师：结合计数器来看，这一个珠子应该拨在哪一位上？（如图3所示）创设情境：他们觉得苹果真好吃，于是又种了一些，看！你还了解到什么？该怎么列式？（如图4所示）

生：12×10。

师追问：为什么也用乘法？

生明确：求12个十是多少，也用乘法计算。

师揭题：今天我们的研究从12乘10开始，学习两位数乘两位数。

评析：理解算式意义是形成算理的根本前提。在学生掌握2×10的意义时，需从直观形象出发逐步进行抽象概括。首先观察情境图，树苗以10棵为单位呈现，学生初步形成10个“一”是一个整体的表象;接着借助计数器，这个整体被进一步抽象为1个“十”。课堂上通过对计数单位形成过程的重演，让学生对计数单位的优化有直观的感知，进而理解12×10表示12个十的内涵，为后续探索12×10的算理孕伏，促进抽象思维的孵化。

（二）创设探究空间，推进运算的思维优化

“渐进式”运算教学是以培养和优化学生思维为目的，这必然要求课堂有充分的“留白”供学生自由挥洒，这也要求教师能有条不紊地创设探究空间，使学生在自主操作中建构，让思维在观察辨析中优化，由浅入深地促进数学学科关键能力的提升。

【片段2】教师提出问题：12乘10等于多少？该怎么算？教师根据学生的算法，酌情板书：先算12乘1，再在末尾添0。

师启发：为什么可以直接添0？

生明确：用一个圆点代替一棵树，在点子图上研究12乘10的计算道理，关注算法提醒。（如图5所示）

学生独立思考后交流，侧重归纳如下计算思路。

生1 ：10×10=100，2×10=20，100+20=120（如图6所示）。

教师结合点子图引导：这一部分是几个十？加上20是几个十？

生2：把12分成6和6，6×10=60，60+60=120。

教师结合点子图引导：几个十是60，乘2还是几个十？

生3：12乘10就表示12个十，是120。

板书：12×10  →12 个 十

对比分析：这些方法有什么共同的地方？

学生反馈小结：都转化为12个十来计算。

比较优化：哪种方法能直接看出12个十？

生明确：1个十、1个十地圈，能将12乘10直接转化为12个十来计算。

回顾研究过程：12乘10最终被转化为12乘1个十，计数器的十位该拨几个珠子？

生1：12个珠子，表示12个十。

生2：也就是120。

评析：“渐进式”运算教学的过程，是学生在自身需求发展中的自主建构过程。这就要求教师给予充分的空间，使学生在操作体验中逐步完成思维的发展过程，在不露痕迹中理解算理，形成算法。在探索12×10的算理时，教师不应过早抽象出最优算法，而应让学生先“退”回思维起点，用已有认知解决新问题，充分暴露学生的原生态思维。而后再组织学生在观察、分析、比较、归纳、推理等教学活动中“进”到思维深处。在探究、优化过程中，学生体会到计数单位的结构化特征，实现抽象思维的锐化。

（三）促进认知冲突，理清运算的思维逻辑

根据皮亚杰心理发展理论，学生形成的认知结构具有一定的稳定性，但教师引入的情境若已超出学生的原认知系统，且学生间认知水平存在差异，这必然会导致一系列认知冲突的产生。因此，“渐进式”运算教学要求学生不断与外界充分交互，吸纳新图式;而教师则需充分放大认知冲突，提供支架，帮助学生在“愤悱”间理清运算的思维逻辑，聚焦思维的裂变和升华。

【片段3】导入新情境：摘好的苹果都装在同样大的筐里，足足有60 筐，熊大邀请了200多名小动物参加派对，如果每个小动物分一个苹果够不够分？还需要知道什么？

生1：每筐苹果的个数，然后乘以60。

生2：每筐苹果的个数可能不一样。

师追问：那该怎么办？

生3：数一数每筐的个数，然后相加。

生4：那太麻烦了。其实，每筐里的苹果数都差不多，有的比30多一点，有的比30少一点，我们可以把每筐苹果的个数看作 30 个来估算。

教师组织学生独立解答，并酌情板书：60×30=1800（个）。生明确：虽然估算的总个数与实际情况有差异，但能反映苹果个数的大致情况。

评析：教学时，教师先出示不完整的问题情境，围绕“够不够分”展开。由于学生的思维存在定势，他们必然会想到用每筐个数乘60筐来求总数。之后，教师再引导学生联系生活经验推想：由于每筐苹果的个数可能不一样，所以要把结果逐一相加，但这样很麻烦。于是，认知冲突自然产生。通过认知冲突和教师引导，学生对估算价值及策略有了更深层次的理解，也让思维层次更加清晰明朗，提升了思维的逻辑性。

（四）设立练习层次，深化运算的思维实践

根据加涅的信息加工学习理论，技能的学习是建立在认知基础之上的累积过程。学生在接收外界信息时，需要伴随感知各种刺激元，让知识和技能的存储由表及里地逐步渗透。因此，“渐进式”运算教学在设计练习环节时，也应当考虑将各种刺激元进行有层次的排列组合，从而帮助学生在充分理解算理的基础上掌握算法，并学会灵活运用。而这一过程，恰是将内隐的思维通过外显的实践方式推进至纵深处。

【片段4】1.观察对比，融“理”通“法”。

师：（出示几组算式，让学生说算理，师借机板书）

15×10     15乘1个十是150。

24×10     24乘1个十是240。

□□×10

生明确：在末尾直接添0来算，表示几十几个十。

13×20     13乘2个十是260。

14×20     14乘2个十是280。

□□×□0

提示：观察这些算式，发现了什么？

明确算理：两位数乘整十数都转化为几十几个十来算。

掌握算法：把0前面的数先乘，有几个0就在积的末尾添几个0。

2.题组训练，巩固算法。

32×10   10×55   30×80

70×20   30×70   60×90

20×50   20×90   50×90

3.游戏感知，完善建构。

摘苹果游戏：选出乘积末尾有两个0的算式，男、女生各派一名代表上台PK，最后同桌相互进行游戏。

4.生活应用。

创设情境：（出示一篇文章）如果每分钟读150个字，3分钟能读完吗？

评析：此环节的练习设计充分体现了“渐进式”运算教学的层次艺术。纵观整体设计，前两道练习题主要巩固算理，掌握运算技能;后两题主要将口算和估算技能运用到实践中，加强知识结构化。就每道练习题设计而言，也具备层次性特征。先借题组分析归纳，帮助学生建立清晰的静态表象，再通过游戏活动将知识外化为技能，从而形成稳定的动态表象，最后进行综合运用。这样的设计，由“扶”到“放”，让学生的思维在循序渐进的实践中逐步走向深化。

三、“渐进式”思维课堂的形成与发展

综上所述，“渐进式”运算教学不仅要引导运算思维的发生，还需维持思维发展并促其深化。而以“渐进”为特征的思维课堂，不仅需要教师层次分明的设计，更需要学生充分的思维投入。在“渐进式”课堂中，循序渐进不仅是教学推手，更是发展学生思维，培育其核心素养的关键策略。

更进一步地，“渐进式”思维课堂是以尊重生命规律为基，精心设计递进式认知活动的数学课堂。经过循序渐进式教学的熏陶和浸润，学生在潜移默化中掌握知识技能，学生的思维在无痕处延展漫溯。而“渐进式”的教学过程不仅仅是引领建模的过程，也是利用模型深入探究的过程，更是紧扣原始经验自我建构的过程。在这个过程中，教师充当组织者和引导者，学生成为课堂的主人，学生的思维引领课堂教学的流程与节奏。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京師范大学出版社，2012.

[2]徐斌.数学无痕教育的实践特征[J].江苏教育研究，2019（5）.

（责任编辑：韩晓洁）