教你读懂数学建模问题<br/>——高考中的概率分布试题例析

教你读懂数学建模问题
——高考中的概率分布试题例析

2020-07-17祝维男

新世纪智能(数学备考) 2020年6期

祝维男

说起概率分布的应用，同学们很快就联想到我们的生活实际、科学技术等，它也成为了高考命题中数学模型的重要载体.下面一起来看看近几年高考中概率分布的典型问题，探究分析模型特点，总结命题规律，从而提升数学建模能力.

1．源自生活实际的精细模型

例1 （2017 年全国Ⅲ卷第18 题）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2 元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间[20 25， )，需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需求量为200 瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得右面的频数分布表：

最高气温[10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40)天数 2 16 36 25 7 4

以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率．

（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；

（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？

分析（1）根据题意，列出六月份这种酸奶一天的需求量X 的可能取值，计算出得分X 所对应的概率值，写出X 的分布列为；

X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4

模型解读

日常生活中的“酸奶销售”大家都很熟悉，模型中的关键条件是“酸奶的不同标价”和“气温变化对酸奶需求量的影响”．解题时要围绕进货量n进行分类讨论．

2．源自科学技术的精细模型

例2 （2019 年全国Ⅰ卷理科第21 题）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1 分，乙药得−1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1 分，甲药得−1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0 分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．

（1）求X 的分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4 分，

表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则其中a P X= =−( 1)，b P X= =( 0)，c P X= =( 1).假设α =0.5，β =0.8．

（i i）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．

模型解读

你是不是觉得自己在做阅读理解题，读完一遍不知道题目说的是啥？那就对了，就是为了考验你们的阅读理解能力和耐力!本题以药物的试验为模型：第一部分详细介绍了药物试验的实施方案，第二部分是将试验实施方案抽象成数学问题的再描述，第三部分经过层层提问，促进对模型内部关系的理解．

分析（1）结合题目条件写出X 所有可能的取值，计算出得分X 所对应的概率值，写出X 的分布列为