中立型随泛函微分方程解的存在唯一性

何晓莹

（广西科技大学理学院，广西柳州545006）

0 引言

随机泛函微分方程可看成是泛函微分方程和随机微分方程的推广，它不仅取决于系统当前的状态，还与事物的过去状态有关，故被广泛应用于生物、物理、金融、力学、生态学、神经网络及工程等各领域[1-2].中立型随机泛函微分方程是随机泛函微分方程理论中一类重要的方程.它所描述的动力系统不仅依赖于目前的状态和过去一段时间的状态，还依赖于过去一段时间状态的变化率，具有广泛的应用.

近年来，非线性期望理论受到广泛的关注.2005年，PENG[3-5]创建了G-期望理论体系，是一种非线性期望.在G-期望框架下，引入了相关的G-正态分布、G-布朗运动和G-Itô积分.随之很多文章对G-布朗运动进行了深入研究[6-8].在这个基础上，文献[9]研究了G-随机微分方程解的存在性和唯一性，但中立型随机泛函微分方程还未涉及.

本文在局部非利普希茨条件下研究G-布朗运动驱动的中立型随机泛函微分方程（G-NSFEs）解的存在唯一性.

1 预备知识

考虑如下的G-NSFEs：有：

初始值x0=ξ={ξ(θ):-τ≤θ≤0}∈K，xt={x(t+θ):-τ≤θ≤0}为K值随机过程.D∶K →Rd，f∶[0,T]× K → Rd，g∶[0,T]× K → Rd×m和h∶[0,T]× K→ Rd×m是Borel可测的.

为了证明本文的主要结果，给出如下假设：

假设Ⅰ存在某个函数H(t,u):[0,T]×[0,+∞)→[0,+∞)和κ∈(0,1)，使得对任意t∈[0,T]和x∈K，有：

‖⋅‖HS表示Hilbert-Schmidt范数，其中，对固定的u∈[0,+∞)，函数H(t,u)关于t局部可积；对固定的t∈[0,T]，函数H(t,u)关于u连续且非降；对任意γ＞0，u0≥0，积分方程在[0,T]内有解.

假设Ⅱ存在某个函数G(t,u):[0,T]×[0,+∞)→[0,+∞)，使得对任意t∈[0,T]和x,y∈K，有：

其中：G(t,0)=0，对固定u∈[0,+∞)，函数G(t,u)关于t局部可积；对固定t∈[0,T]，函数G(t,u)关于u连续且非降；对某个常数α＞0，如果存在一个非负连续函数z(t)满足:

则有z(t)=0.

引理1[7]对p≥1，T≥0和η∈MpG([0,T];Rd)，有:

且对p≥2，存在常数Cp＞0，有：

引理2[10]（Doob鞅不等式） 对p＞1，{x(t)}t≥0是G-鞅和[a,b]是正实数的有界区间，当x∈MGp([0,T];Rd)，存在，有

引理3[11]对于方程其中u(t0)=u0，u0≥0.若H(t,u)满足假设Ⅰ，则对于任意的γ＞0，方程存在一个局部解.

2 解的存在唯一性

利用Picard迭代法给出方程（1）解的存在唯一性结论.设x0(t)=ξ(0)，对于n=1,2,…，令xn0=ξ，并定义如下迭代序列：

式中：

定理1设{xn(t)}n≥1是式（2）所定义的随机序列过程，D(x),f(t,x),g(t,x),h(t,x)满足假设Ⅰ和假设Ⅱ，则对于是一致有界的.

证明由假设Ⅰ，∀t∈[0,T]，有：

取u0∈ R+，使得

对式（3）两边取上确界和G-期望，可得：

对∀t∈[0,T]，有：

再由引理1和引理2，式（5）化为：

将式（6）代入式（4），由假设Ⅰ有：

这里用到了t≥0和假设Ⅰ中H(t,u(t))关于u(t)是单调非降的.

对式（9）两边取上确界和G-期望，有：

由引理1和引理2，可知：

由于函数u(t)在[0,T]上连续，则：

且由假设Ⅰ，H(t,u(t))关于u(t)是单调非降的，故对于t∈[0,T]，H(t,u(t))≤H(t,p0)成立.

将式（11）代入式（10），再由假设Ⅰ和式（12）可得：

假设n=m时，对∀t∈[0,T]，下列不等式成立，

则对∀t∈[0,T]，类似于式（7）的推论，有：

另外，与式（13）类似的推导，可推出：

由于u(t)在[0,T]上连续，故存在常数M ＞0，对∀t∈[0,T],n∈N，有定理1证毕.

定理2假设Ⅰ和假设Ⅱ成立，则对∀t∈[0,T]，方程（1）存在唯一解.

证明 先证明{xn(t)}n≥1为柯西序列.由式（2）可得：

对式（17）两边取上确界和G-期望，有：

由基本不等式(a+b+c)2≤3a2+3b2+3c2，有：

再由引理1、引理2和假设Ⅱ，可得：

将式（20）代入式（18），可知：

由Fatou引理，可知：

再由假设Ⅱ，有：

由定理1及上述证明可知，对任意固定的T＞0，{xn(t)}是收敛的Cauchy序列.设其极限为x(t).类似于式（21）的推导，有：

对式（2）两边取极限，可知x(t)满足方程（1），故解的存在性得证.

再证明唯一性.设x(t)和y(t)为方程（1）两个解，类似式（21）的证明可得：

对∀t∈[0,T]，有：

故定理2证毕.