推理与证明

一、填空题

2.（2019年启东调研）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为________.

3.观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，（cosx）′=-sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（-x），记g（x）为f（x）的导函数，则g（-x）=________.

4.在△ABC中，若AC⊥BC，AC=b，BC=a，则△ABC的外接圆半径r=.将此结论拓展到空间，可得出的正确结论是：在四面体中，若SA，SB，SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，则四面体的外接球半径R=________.

5.设f0（x）=sinx，f1（x）=f′0（x），f2（x）=f′1（x），…，fn+1（x）=f′n（x），n∈N，则f（x）=________.2020

6.根据下面一组等式：

S1=1，

S2=2+3=5，

S3=4+5+6=15，

S4=7+8+9+10=34，

S5=11+12+13+14+15=65，

S6=16+17+18+19+20+21=111，

…

可得S1+S3+S5+…+S2n-1=________.

则当n＜m，且m，n∈N时，=________.（结果用m，n表示）.

9.（2019年石家庄市调研）某校为高一学生开设了三门选修课程，分别是文学与艺术、哲学初步、数学史.调查某班甲、乙、丙三名学生的三门选修课程的选修情况时，甲说：“我选修的课程比乙多，但没有选修哲学初步.”乙说：“我没有选修数学史.”丙说“我们三人选修的课程中，有一门课程是相同的.”由此可以判断乙选修的课程为________.

10.（2019年威海模拟）对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为________.

二、解答题

（1）求证：B1D1∥平面A1BD；

（2）求证：MD⊥AC；

（3）试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.

（第11题）

（1）求实数a的值；

（2）若对任意的x∈（0，2），都有f（x）＜成立，求实数k的取值范围.

13.设数列｛an｝的前n项和为Sn，且（Sn-1）2=anSn.

（1）求a1；

（3）是否存在正整数m，k，使成立？若存在，求出m，k；若不存在，说明理由.

14.（2019年全国卷Ⅱ）已知函数f（x）=.

（1）讨论f（x）的单调性，并证明f（x）有且仅有两个零点；

（2）设x0是f（x）的一个零点，证明曲线y=lnx在点A（x0，lnx0）处的切线也是曲线y=ex的切线.