数学文化融入高考试题（一）：数学美

李双双

新一轮高中数学课程改革，在课程内容安排上，强调“数学文化融入课程内容”；在高考试题命题上，提出了“融入数学文化”的命题要求．因此，加强对数学文化的考查，将是新课程高考评价改革的一个必然趋势．在高考试题中呈现“数学美”相关的试题，是将数学文化融入高考试题的一种重要的形式．同学们，一起来感受吧．

典型试题分析

例1 （2019年高考全国卷第4题）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是（ ）

A.165 cm B.175 cm C.185 cm D.190 cm

图1

小知识

【解法1】 运用生物学知识，根据腿长进行估算.

首先估计肚脐到骼骨的距离，大约1 cm；足的高度，就是躁骨最下端到足底的距离，大约3 cm.这样，可以估算出肚脐到足底的长度大约为109 cm，再计算出头顶至肚脐的长度约为109×0.618≈67.4（cm），所以，估算出该人身高为176.4 cm，选择答案B.

小知识

什么是“腿长”？腿长是指髂骨（位于腰部下面腹部两侧的骨）到足底的高度，再减去足的高度．

【解法2】 利用不等式模型，求出身高的取值范围.

①已知头顶至脖子下端的长度为26 cm，由于头顶至咽喉的长度小于头顶至脖子下端的长度，如果把26 cm 当作头顶至咽喉的长度来计算，所得到的身高也就超过了实际身高.先计算出咽喉至肚脐的长度为，这样，头顶至肚脐的长度约为68.1 cm，再计算出肚脐到足底的长度为，从而得到身高为68.1＋110.2=178.3(cm).因此，实际身高小于178.3 cm.

②再用腿长估算.由于肚脐至足底的长度大于腿长，如果我们把105 cm 当作肚脐至足底的长度来计算，所得到的身高也就小于实际身高.先计算出头顶至肚脐的长度为105×0.618≈64.9（cm），从而得到身高为105＋64.9=169.9(cm).因此，实际身高大于169.9cm.

由①②可知，身高在区间(169.9，178.3)内，满足条件的只有选项B.

解题回顾

对于解法1，很多同学并不知道“腿长”的概念，无法利用腿长进行估算.那么，在本例中，我们能不能利用“头顶至脖子下端的长度为26 cm”去估算“头顶至咽喉的长度”呢？生物学知识告诉我们，咽喉是人的第二性征，男女有别!本题只是告诉我们“若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm”，要求其身高，我们并不知道这个“某人”是男还是女.如果利用“头顶至脖子下端的长度为26 cm”去估算“头顶至咽喉的长度”，并通过计算估算出身高，就会导致所得结果的不确定性.

我就曾经以班上一名身高175 cm 左右的、帅气的男生为例进行了估算，他的咽喉到脖子下端的长度为5cm，这样，就得到他头顶至咽喉的长度为21 cm，计算出咽喉至肚脐的长度为，这样，头顶至肚脐的长度约为55 cm，再计算出肚脐到足底的长度为，从而得到该男生的估算身高仅仅为55＋89=144(cm)，与实际身高175 cm相差很大．

这也是导致本题失分严重（得分率仅为20%）的一个重要原因.此外，由于很多考生并不知道腿长的概念，无法利用腿长来进行估算.可见，这道高考题，也体现了新高考强化学科综合、考查全面学科素养的命题思路.

对于解法2，就是要借助于“不等式”这一数学模型来求解.在本题中，由于命题者故意给出与题干中两个所给黄金分割比不相吻合的条件，同学们需要寻找相应的数学模型来求解问题.在分析问题时，应当由所给的数据与两个黄金分割比不对应，由“等量关系”联想到“不等关系”，最终通过“不等式”来解决问题.

例2 （2019年高考北京理科卷第8题）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2＋y2＝1＋|x|y就是其中之一（如图2）.给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；

②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 2;

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.

其中，所有正确结论的序号是（ ）

A.① B.② C.①② D.①②③

图2

本题以“心形线”这一优美图形为背景，设计了一道非教材内容所学习的曲线试题，考查同学们灵活地运用所学知识和方法解决问题的能力．

【解】①由x2+y2=1+|x|y，得y2-|x|y+x2-1=0，这是一个关于y的一元二次方程，要使该方程有解，则根的判别式Δ=(|x|)2-4(x2-1)≥0，解得，所以x可取的整数有0，-1，1.同理，由x2＋y2=1+|x|y，得|x|2-y|x|+y2-1=0，这是一个关于|x|的一元二次方程，要使该方程有解，则根的判别式Δ=y2-4(y2-1)≥0，解得，所以y可取的整数有0，-1，1.把上述所得的x,y的值代入曲线C的方程进行验证，得到曲线C：x2+y2=1+|x|y恰好经过(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(1，1)，(-1，0)，(-1，1)，共6 个整点，结论①正确.

②因为对任意实数x，y，都有，所以x2+y2=1+，解得x2+y2≤2，即，所以曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 2.结论②正确.

③如图3所示，图中A，B，C，D的坐标分别为A(0，-1)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，所以四边形ABCD的面积，所以“心形”区域的面积大于2SABCD，即“心形”区域的面积大于3，结论③错误.

综上，选C.

图3

解题回顾

对于结论①，首先要确定变量x，y的取值范围，可以利用一元二次方程有解来确定，还可以将曲线C的方程进行变式来解决，如由x2+y2=1+|x|y，得，即，因为，所以，解得，所以x可取的整数有0，-1，1.再把x分别取0，-1，1，代入曲线C的方程得到曲线C：x2+y2=1+|x|y恰好经过(0，1)，(0，-1)，(1，0)，(1，1)，(-1，0)，(-1，1)，共6个整点，结论①正确.

对于结论②，由于要判断“曲线C上任意一点到原点的距离都不超过”这一命题是否正确，因此，也就需要判断：对于曲线C上任意一点P(x，y)，不等式是否成立？也就要由曲线C的方程去确定x2＋y2的取值范围，利用基本不等式2xy≤x2+y2即可.

对于结论③，相对简单一些，可以借助于图形，曲线C所围成的“心形”区域的面积与3的大小关系.

解题策略总结

1.认真审题，实现数学抽象

第一步，正确审题.审题时，从试题所给的文字语言中，抽象出数学问题，确定解题方向.例1中，抽象出最美人体所满足的两个黄金分割比，即“头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比”与“头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比”，再分析所给的条件，明确题目给出了“腿长”与“头顶至脖子下端的长度”，并非两个黄金分割比所对应的长度，并将实际问题抽象为数学问题.

2.逻辑推理，分析解题策略

第二步，确定解题策略.对于例1，既可以利用腿长进行估算（注意：不能利用头顶至脖子下端的长度进行估算，因为这是第二性征），也可以从数学的角度来讨论数量的大小关系，分析解决问题可能途径.对于例2，根据所要判断的结论，去分析解题策略，如对于结论②，由题目要判断“曲线C上任意一点到原点的距离都不超过 2”是否正确，通过逻辑推理，转化成求x2＋y2的取值范围.

3.借助模型，正确求解问题

第三步，利用数学模型解决问题.如例1，利用不等式模型来得到该人身高的范围，从而得到答案.又如例2 中的结论①，利用一元二次方程根的判别式来确定x，y的取值范围，也可以将曲线C的方程进行变形，得到x的范围；对于结论②，利用“基本不等式”这一重要的数学模型，得到相应结论.

牛刀小试（原创题）

（多选题）图4是2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，它来源于我国古代数学家赵爽的弦图．它是由4 个相同的直角三角形（△AED，△BFA，△CGB和△DHC）与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD（如图5）．设DE=a，AE=b，AD=c，且0 ＜b≤a＜c．关于这幅弦图，下列说法正确的有（ ）

A.利用这幅弦图可以证明勾股定理a2+b2=c2

B.利用这幅弦图可以证明基本不等式a2+b2≥2ab

C.若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别是1和，则

D.若正方形ABCD与正方形EFGH的面积分别是1和，则

图4

图5

答案：ABD.