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解析几何中的定值问题

2020-07-16

新世纪智能(数学备考) 2020年5期
关键词:动点定值原点

一、填空题

1.已知A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线y2=2x上两点,且0A⊥0B,则y1y2=.

2.如图,半圆的直径AB=6,0为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径0C上的动点,则的最小值是________..

(第2题)

3.已知AB是经过椭圆b>0)右焦点的任意一条弦,若过椭圆中心0的弦MN∥AB,则|MN|2:|AB|恒等于________..

4.(2019年泰州市模拟卷)已知A,B,P是椭圆上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积,则该椭圆的离心率为________.

5.已知正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2x上,则这个正三角形的面积为________..

6.(2020年苏州市期末卷)设M为双曲线上的任意一点,则点M到双曲线的两条渐近线的距离之积为________.

7.一束光线从A(-1,1)出发,经x轴反射到圆(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程为________.

8.设a,b是关于x的方程x2sinθ+xcosθ-2=0的两个实根(θ∈R,a≠b),直线l过点A(a,a2),B(b,b2),则坐标原点0到直线l的距离是________..

9.已知圆0:x2+y2=8交x轴于A,B两点,M是直线x=-4上的任意一点,以0M为直径的圆K与圆0相交于P,Q两点,则直线PQ必过定点________.

10.(2019年海安练习卷)已知圆0:x2+y2=1,点P在直线l:2x+y-3=0上,M为直线y=x与直线l的交点,若在平面内存在定点N(不同于点M),满足:对于圆0上任意一点Q,都有为定值,则定点N的坐标为________.,定值为________.

二、解答题

11.已知椭圆C的中心在原点,焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点,离心率等于.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过椭圆C的右焦点F作直线l,交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M,若,求证:λ1+λ2为定值.

12.已知椭圆C:的两个焦点分别为,点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.

(1)求椭圆C的方程;

(2)过点M(1,0)的直线l与椭圆C相交于A,B两点,设点N(3,2),记直线AN,BN的斜率分别为k1,k2,求证:k1+k2为定值.

13.若椭圆C:的离心率e为,且椭圆C的一个焦点与抛物线y2=-12x的焦点重合.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设点M(2,0),点Q是椭圆上一点,当MQ最小时,试求点Q的坐标;

(3)设P(m,0)为椭圆C长轴(含端点)上的一个动点,过P点斜率为k的直线l交椭圆于A,B两点,若PA2+PB2的值仅依赖于k而与m无关,求k的值.

(第13题)

14.(2020年海门中学练习卷)在平面直角坐标系x0y中,椭圆C:的左顶点为A,点P,Q是椭圆C上的两个动点.

(1)如图,当P,0,Q三点共线时,直线PA,QA分别与y轴交于M,N两点,求证:为定值;

(2)设直线AP,AQ的斜率分别为k1,k2,当k1·k2=-1时,求证:直线PQ经过定点R.

(第14题)

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